Лицей №1514 из 4 в 5 класс 2013 год вариант 1

05.06.2013

1. Выполни действия (все вычисления должны быть в чистовике): $4 \cdot 782 \cdot 25-200 \cdot(1173-784)+14122: 46$.
2. Реши уравнения (проверку делать необязательно):
   1. 280-2048: $x=248$;
   2. $(16 \cdot 12+x \cdot 192): 8=72$.
3. Реши задачи:
   1. Сколько нужно досок длиной 4 метра, шириной 4 дм, чтобы замостить пол в квадратной комнате, периметр которой равен 32 метра?
   2. Сколько нужно купить банок краски, чтобы покрасить этот пол, если известно, что на один квадратный метр пола расходуется 120 грамм краски, а краска продается в банках по 2 килограмма?
4. Реши задачи:
   1. Коля в 9 часов вышел из дома и отправился на станцию. Его брат Вася тоже из дома поехал на станцию на велосипеде со скоростью 12 км $/$ ч, что в четыре раза больше, чем скорость Коли. Оба оказались на станции в 11 часов. Узнай, каково расстояние от дома до станции и во сколько выехал из дома Вася (оба двигались по одной дороге с постоянными скоростями).
   2. На следующей день Коля с Васей пошли в гости к Саше, причем Коля шел половину пути со скоростью 5 км/ч, а половину - со скоростью 4 км $/$ ч, а Вася половину затраченного на весь путь времени шел со скоростью 5 км/ч, а половину времени - со скоростью 4 км/ч. Из дома они вышли одновременно. Кто пришел к Саше раньше?
5. Коля написал на карточках все двузначные числа (каждое число на отдельной карточке), потом сложил карточки в коробку и спросил Васю: «Сколько надо достать, не глядя, карточек из коробки, чтобы среди них наверняка оказалась хотя бы одна карточка с числом, которое делится на 5?» Помоги Васе ответить на вопрос.

Решения задач

1. Выполни действия: $4 \cdot 782 \cdot 25-200 \cdot(1173-784)+14122: 46$.
   Решение:
   $4 \cdot 782 \cdot 25 = 782 \cdot 100 = 78200$
   $1173 - 784 = 389$
   $200 \cdot 389 = 77800$
   $14122 : 46 = 307$
   $78200 - 77800 + 307 = 400 + 307 = 707$
   Ответ: 707.
2. Реши уравнения:
   1. $280 - 2048 : x = 248$
      Решение:
      $2048 : x = 280 - 248 = 32$
      $x = 2048 : 32 = 64$
      Ответ: 64.
   2. $(16 \cdot 12 + x \cdot 192) : 8 = 72$
      Решение:
      $16 \cdot 12 = 192$
      $(192 + 192x) : 8 = 72$
      $192 + 192x = 72 \cdot 8 = 576$
      $192x = 576 - 192 = 384$
      $x = 384 : 192 = 2$
      Ответ: 2.
3. Реши задачи:
   1. Сколько нужно досок длиной 4 метра, шириной 4 дм, чтобы замостить пол в квадратной комнате, периметр которой равен 32 метра?
      Решение:
      Сторона комнаты: $32 : 4 = 8$ м
      Площадь пола: $8 \cdot 8 = 64$ м²
      Площадь одной доски: $4 \cdot 0,4 = 1,6$ м² (4 дм = 0,4 м)
      Количество досок: $64 : 1,6 = 40$
      Ответ: 40.
   2. Сколько нужно купить банок краски, если на 1 м² расходуется 120 г, а краска продаётся в банках по 2 кг?
      Решение:
      Общий расход краски: $64 \cdot 120 = 7680$ г = 7,68 кг
      Количество банок: $7,68 : 2 = 3,84 \Rightarrow 4$ банки
      Ответ: 4.
4. Реши задачи:
   1. Расстояние от дома до станции и время выезда Васи.
      Решение:
      Скорость Коли: $12 : 4 = 3$ км/ч
      Время в пути Коли: $11 - 9 = 2$ часа
      Расстояние: $3 \cdot 2 = 6$ км
      Время в пути Васи: $6 : 12 = 0,5$ часа = 30 минут
      Время выезда Васи: $11:00 - 0:30 = 10:30$
      Ответ: 6 км, 10:30.
   2. Кто пришёл к Саше раньше?
      Решение:
      Средняя скорость Коли: $\frac{2}{\frac{1}{5} + \frac{1}{4}} = \frac{40}{9} \approx 4,44$ км/ч
      Средняя скорость Васи: $\frac{5 + 4}{2} = 4,5$ км/ч
      При одинаковом расстоянии Вася тратит меньше времени.
      Ответ: Вася.
5. Сколько карточек нужно достать, чтобы гарантированно получить число, делящееся на 5?
   Решение:
   Всего двузначных чисел: 90
   Числа, не делящиеся на 5: $9 \cdot 8 = 72$ (в каждом десятке 8 чисел)
   Наихудший случай: взяли все 72
   Следующая карточка гарантированно делится на 5
   Ответ: 73.