Лицей №1514 из 4 в 5 класс 2008 год вариант 1

ГИМНАЗИЯ №1514

2008 год

23.02.2008

1. Миша, Коля и Петя вместе имеют массу 89 кг. Миша с Колей вместе имеют массу 63 кг, Коля с Петей 58 кг. Сколько весит каждый мальчик?
2. Кусок проволоки согнули в треугольник, каждая сторона которого 8 м. Затем проволоку разомкнули и заново согнули из неё квадрат. Какова площадь получившегося квадрата?
3. Кузнечик может совершить прыжки на 1 м, 3 м и 5 м. Может ли он за 7 прыжков преодолеть ровно 28 метров?
4. В корзине лежит меньше 100 яблок. Их можно разделить поровну между 2,3 или 5 детьми, но нельзя разделить между 4 детьми. Сколько яблок в корзине?
5. Белка бежит от сосны до поляны с орехами, берет орех и возвращается к сосне, затрачивая на весь путь 6 минут. Далеко ли до поляны от сосны, если известно, что без ореха белка бежит со скоростью $6 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, а с орехом $3 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ ?

Решения задач

1. Миша, Коля и Петя вместе имеют массу 89 кг. Миша с Колей вместе имеют массу 63 кг, Коля с Петей 58 кг. Сколько весит каждый мальчик?
   Решение: Пусть масса Миши — $M$, Коли — $K$, Пети — $P$. Составим систему уравнений:
   $\begin{cases} M + K + P = 89 \\ M + K = 63 \\ K + P = 58 \end{cases}$
   Из первого уравнения выразим $P = 89 - (M + K) = 89 - 63 = 26$ кг.
   Из третьего уравнения: $K = 58 - P = 58 - 26 = 32$ кг.
   Из второго уравнения: $M = 63 - K = 63 - 32 = 31$ кг.
   Ответ: Миша — 31 кг, Коля — 32 кг, Петя — 26 кг.
2. Кусок проволоки согнули в треугольник, каждая сторона которого 8 м. Затем проволоку разомкнули и заново согнули из неё квадрат. Какова площадь получившегося квадрата?
   Решение: Длина проволоки равна периметру треугольника: $3 \cdot 8 = 24$ м.
   Сторона квадрата: $\frac{24}{4} = 6$ м.
   Площадь квадрата: $6 \cdot 6 = 36$ м².
   Ответ: 36 м².
3. Кузнечик может совертить прыжки на 1 м, 3 м и 5 м. Может ли он за 7 прыжков преодолеть ровно 28 метров?
   Решение: Максимальная сумма прыжков: $5 \cdot 7 = 35$ м. Для достижения 28 м сумма прыжков должна быть на 7 м меньше максимальной. Замена одного прыжка на 5 м на 1 м уменьшает сумму на 4 м. Чтобы уменьшить на 7 м, потребуется замена двух прыжков: $5 \cdot 5 + 3 \cdot 2 = 25 + 6 = 31$ м (не подходит). Другие комбинации также не дают точной суммы 28 м.
   Ответ: Нет.
4. В корзине лежит меньше 100 яблок. Их можно разделить поровну между 2,3 или 5 детьми, но нельзя разделить между 4 детьми. Сколько яблок в корзине?
   Решение: Число яблок делится на НОК(2,3,5) = 30. Возможные варианты: 30, 60, 90. Проверим деление на 4:
   - 30 : 4 = 7,5 (не делится)
   - 60 : 4 = 15 (делится)
   - 90 : 4 = 22,5 (не делится)
   Подходят 30 и 90. По условию число меньше 100, поэтому возможны оба варианта. Однако минимальное подходящее число — 30.
   Ответ: 30.
5. Белка бежит от сосны до поляны с орехами, берет орех и возвращается к сосне, затрачивая на весь путь 6 минут. Далеко ли до поляны от сосны, если известно, что без ореха белка бежит со скоростью $6 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, а с орехом $3 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ ?
   Решение: Пусть расстояние до поляны — $S$ метров. Время пути туда: $\frac{S}{6}$ сек, обратно: $\frac{S}{3}$ сек. Общее время:
   $\frac{S}{6} + \frac{S}{3} = \frac{S}{2} = 6 \cdot 60 = 360$ сек.
   $S = 360 \cdot 2 = 720$ м.
   Ответ: 720 метров.