8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1511 из 9 в 10 класс 2021 год (1 этап)

Сложность:
Дата экзамена: 2021
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1511 ПРИ МИФИ


2021 год


1 этап



  1. (10 баллов) В бригаде три рабочих разной квалификации. Производительность второго рабочего на 20% больше производительности первого рабочего, а производительность третьего рабочего на 50% больше производительности второго рабочего. Второй и третий рабочий, работая вместе, выполняют заказ за 80~минут. За сколько минут выполнят заказ все три рабочих, работая вместе?
  2. (10 баллов) Найдите корни уравнения \[ \frac{(x^2 - 6x + 8)\,\sqrt{9 - x^2}}{x + 3} \;=\; 0. \] В ответе укажите корень или сумму корней, если корней несколько.
  3. (10 баллов) Найдите значение выражения \[ \left( \frac{a^{0.25} + b^{0.5}}{a^{0.5} - b} \;\cdot\; \frac{a^{0.25}}{a^{0.5} + a^{0.25}b^{0.5}} \right)^{-1} \] при \(a=100\), \(b=25\).
  4. (10 баллов) Решите уравнение \[ \frac{10x^2 - 9994x - 6000}{5x^2 + 3x} \;=\; 0. \] В ответе укажите корень или сумму корней, если их несколько.
  5. (10 баллов) Решите уравнение \[ \bigl(x^2 + 2x + 5\bigr)^{2} \;-\;\bigl|\,3x^2 + 6x\bigr| \;-\;25 \;=\; 0. \] В ответе укажите корень или сумму корней, если их несколько.
  6. (10 баллов) Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x + 2y = 9,\\ x^3 + 2x^2y = 9. \end{cases} \] В ответ запишите наибольшее из возможных произведений \(xy\), где пара \((x,y)\) — решение системы.
  7. На окружности последовательно расставлены точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\). Найдите \(\angle BED\), если \[ \smile AB : \smile BC : \smile CD : \smile DE : \smile EA = 1 : 2 : 3 : 4 : 5. \]
  8. (10 баллов) В прямоугольной трапеции основания равны \(\sqrt7\) и \(3\sqrt7\), а диагонали трапеции перпендикулярны. Найдите большую боковую сторону трапеции.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач




  1. Решение: Пусть производительность первого рабочего равна \(p\). Тогда второй рабочий имеет производительность \(1,2p\), а третий — \(1,8p\). Второй и третий выполняют заказ за 80 минут, значит их совместная производительность: \(1,2p + 1,8p = 3p\). Объем работы: \(3p \cdot 80 = 240p\). Производительность всех трех рабочих: \(p + 1,2p + 1,8p = 4p\). Время выполнения: \(\frac{240p}{4p} = 60\) минут.
    Ответ: 60.

  2. Решение: Уравнение равно нулю при выполнении двух условий: \[ (x^2 - 6x + 8) = 0 \quad \text{и} \quad \sqrt{9 - x^2} \ne 0 \quad \text{или} \quad \sqrt{9 - x^2} = 0. \] Решаем \(x^2 - 6x + 8 = 0\), получаем корни \(x = 2\), \(x = 4\). Проверяем область определения: \(-3 < x \leq 3\). Корень \(x = 4\) не удовлетворяет. Проверяем \(x = 3\): \(\sqrt{9 - 3^2} = 0\), что дает допустимое значение. Сумма корней: \(2 + 3 = 5\).
    Ответ: 5.

  3. Решение: Упрощаем выражение: \[ \frac{a^{0,25} + b^{0,5}}{a^{0,5} - b} \cdot \frac{a^{0,25}}{a^{0,5} + a^{0,25}b^{0,5}} = \frac{a^{0,25}}{a^{0,5} - b}. \] Обратное значение при \(a = 100\), \(b = 25\): \(\frac{1}{\frac{10 - 25}{1}} = 10 - 25 = -15\).
    Ответ: -15.

  4. Решение: Числитель \(10x^2 - 9994x - 6000 = 0\) имеет корни \(x = 1000\) и \(x = -0,6\). Знаменатель \(5x^2 + 3x \neq 0\) исключает \(x = -0,6\). Корень \(x = 1000\).
    Ответ: 1000.

  5. Решение: Замена \(y = x^2 + 2x\). Уравнение принимает вид \((y + 5)^2 - 3|y| - 25 = 0\), откуда \(y = 0\). Корни \(x = 0\), \(x = -2\). Сумма корней: \(-2\).
    Ответ: -2.

  6. Решение: Из системы находим \(y = 4\), \(x = 1\) и \(y = 5\), \(x = -1\). Наибольшее произведение \(xy = 4\).
    Ответ: 4.

  7. Решение: Дуги \(AB = 24^\circ\), \(BC = 48^\circ\), \(CD = 72^\circ\), \(DE = 96^\circ\), \(EA = 120^\circ\). Угол \(\angle BED\) опирается на дугу \(BD = 264^\circ\), равен \(\frac{264^\circ}{2} = 132^\circ\).
    Ответ: \(132^\circ\).

  8. Решение: Используем соотношение перпендикулярных диагоналей: \(\frac{AD}{BC} = \frac{BC}{AD}\). Большая боковая сторона: \(\sqrt{28}\) см.
    Ответ: \(\sqrt{28}\) см.
Материалы школы Юайти