Лицей №1511 из 8 в 9 класс 2018 год (вариант 1)

ЛИЦЕЙ №1511

2018 год

Вариант 1

1. Упростите выражение: $$ \frac{1-\sqrt{x}}{8 x \sqrt{x}+1} \cdot \frac{4 x+1-2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}-1} \cdot(4 \sqrt{x}+2)+\frac{2 x}{\sqrt{x}-2 x} $$
2. Решите уравнения:
   1. $\frac{3}{x^{2}+9 x+18}-\frac{2 x+7}{6-5 x-x^{2}}=\frac{1}{x+3}$
   2. $\left(x^{2}+3 x\right) \cdot\left(x^{2}+5 x+4\right)-5\left(x^{2}+4 x\right)-15=0$.
3. При одновременной работе двух насосов бассейн наполняется за 1 час 12 минут. Если $\frac{1}{2}$ бассейна наполнить, включив лишь первый насос, а затем, выключив его, продолжить наполнение с помощью второго насоса, то весь бассейн наполнится за 2 часа 30 минут. За какое время каждый насос в отдельности может наполнить бассейн?
4. Решите систему неравенств: $$ \left\{\begin{array}{c} \left|x^{2}-5 x\right|<6 \\ 4 \sqrt{3} \cdot \frac{x^{4}-10 x^{3}+25 x^{2}}{2 x^{2}-7 x-4} \geq 7 \cdot \frac{x^{4}-10 x^{3}+25 x^{2}}{2 x^{2}-7 x-4} \end{array}\right. $$
5. $f(x)=\frac{4-x}{x-5} \cdot \sqrt{\left(x^{2}-7 x+10\right)^{2}}$ 1) Постройте график функции $y=f(x)$. 2) Найдите область определения, множество значений, промежутки возрастания и убывания функции $f(x)$.
6. 1. При каких а уравнение $(a+3) x^{2}-2 a \frac{x^{2}}{x}+a-1=0$ имеет единственное решение?
   2. При каких а уравнение $(a+3) x^{4}-2 a x^{2}+a-1=0$ имеет ровно 2 различных корня?
7. Числа $1224,1225,1226,1227,1228,1229$ выписали друг за другом в некотором порядке и получили 24-значное число n.
   1. Может ли $\mathrm{n}$ быть простым числом?
   2. Может ли $\mathrm{n}$ быть квадратом натурального числа?
   3. Верно ли, что $\mathrm{n}$ имеет не менее 6 различных натуральных делителей?

Решения задач

1. Упростите выражение:
   $\frac{1-\sqrt{x}}{8 x \sqrt{x}+1} \cdot \frac{4 x+1-2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}-1} \cdot(4 \sqrt{x}+2)+\frac{2 x}{\sqrt{x}-2 x}$
   Решение:
   Заметим, что $8x\sqrt{x} + 1 = (2\sqrt{x})^3 + 1^3 = (2\sqrt{x} + 1)(4x - 2\sqrt{x} + 1)$
   Разложим числитель второй дроби: $4x + 1 - 2\sqrt{x} = (2\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x} + 1 = (2\sqrt{x} - 1)^2 + 2\sqrt{x} - 1$
   Однако более эффективно провести замену $t = \sqrt{x}$:
   $\frac{1-t}{(2t)^3 + 1} \cdot \frac{(2t)^2 - 2t + 1}{2t - 1} \cdot (4t + 2) + \frac{2t^2}{t - 2t^2}$
   Упростим первую часть:
   $\frac{1-t}{(2t + 1)(4t^2 - 2t + 1)} \cdot \frac{4t^2 - 2t + 1}{2t - 1} \cdot 2(2t + 1) = \frac{1-t}{2t - 1} \cdot 2 = -\frac{2(1-t)}{1 - 2t} = -2$
   Вторая часть:
   $\frac{2t^2}{t(1 - 2t)} = \frac{2t}{1 - 2t} = -\frac{2t}{2t - 1}$
   Суммируем:
   $-2 - \frac{2t}{2t - 1} = -2 + \frac{2t}{1 - 2t} = -2 - \frac{2t}{2t - 1}$
   Подставим обратно $t = \sqrt{x}$:
   $-2 - \frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 1}$
   Ответ: $-2 - \frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 1}$.
   
   
2. Решите уравнения:
   1. $\frac{3}{x^{2}+9 x+18}-\frac{2 x+7}{6-5 x-x^{2}}=\frac{1}{x+3}$
      Решение:
      Разложим знаменатели:
      $x^2 + 9x + 18 = (x+3)(x+6)$
      $6 - 5x - x^2 = -(x^2 + 5x - 6) = -(x+6)(x-1)$
      Перепишем уравнение:
      $\frac{3}{(x+3)(x+6)} + \frac{2x+7}{(x+6)(x-1)} = \frac{1}{x+3}$
      Общий знаменатель: $(x+3)(x+6)(x-1)$
      Умножим все члены на общий знаменатель:
      $3(x-1) + (2x+7)(x+3) = (x+6)(x-1)$
      Раскроем скобки:
      $3x - 3 + 2x^2 + 13x + 21 = x^2 + 5x - 6$
      $2x^2 + 16x + 18 = x^2 + 5x - 6$
      $x^2 + 11x + 24 = 0$
      Корни: $x = -8$, $x = -3$
      Проверка ОДЗ: $x \neq -3, -6, 1$
      $x = -8$ — подходит
      Ответ: $x = -8$.
      
      
   2. $\left(x^{2}+3 x\right) \cdot\left(x^{2}+5 x+4\right)-5\left(x^{2}+4 x\right)-15=0$
      Решение:
      Разложим множители:
      $x^2 + 3x = x(x+3)$
      $x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4)$
      Перепишем уравнение:
      $x(x+3)(x+1)(x+4) - 5x(x+4) - 15 = 0$
      Сделаем замену $y = x(x+4) = x^2 + 4x$:
      $y(x+3)(x+1) - 5y - 15 = 0$
      Раскроем произведение:
      $y(x^2 + 4x + 3) - 5y - 15 = y(x^2 + 4x - 2) - 15 = 0$
      Подставим $y = x^2 + 4x$:
      $(x^2 + 4x)(x^2 + 4x - 2) - 15 = 0$
      Пусть $z = x^2 + 4x$, тогда:
      $z(z - 2) - 15 = z^2 - 2z - 15 = 0$
      Корни: $z = 5$, $z = -3$
      Решим $x^2 + 4x = 5$:
      $x^2 + 4x - 5 = 0$ → $x = 1$, $x = -5$
      Решим $x^2 + 4x = -3$:
      $x^2 + 4x + 3 = 0$ → $x = -1$, $x = -3$
      Ответ: $x = -5, -3, -1, 1$.
      
      
   
   
   
3. При одновременной работе двух насосов бассейн наполняется за 1 час 12 минут. Если $\frac{1}{2}$ бассейна наполнить, включив лишь первый насос, а затем, выключив его, продолжить наполнение с помощью второго насоса, то весь бассейн наполнится за 2 часа 30 минут. За какое время каждый насос в отдельности может наполнить бассейн?
   Решение:
   Пусть производительности насосов: $v_1$ (бассейн/час), $v_2$ (бассейн/час)
   Совместная работа: $v_1 + v_2 = \frac{1}{1,2} = \frac{5}{6}$ (1)
   По условию: $\frac{0,5}{v_1} + \frac{0,5}{v_2} = 2,5$ (2)
   Умножим уравнение (2) на $2v_1v_2$:
   $v_2 + v_1 = 5v_1v_2$
   Из (1): $v_1 + v_2 = \frac{5}{6}$, подставим:
   $\frac{5}{6} = 5v_1v_2$ → $v_1v_2 = \frac{1}{6}$
   Система:
   $\begin{cases} v_1 + v_2 = \frac{5}{6} \\ v_1v_2 = \frac{1}{6} \end{cases}$
   Корни уравнения $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$:
   $t = \frac{\frac{5}{6} \pm \sqrt{\frac{25}{36} - \frac{4}{6}}}{2} = \frac{\frac{5}{6} \pm \frac{1}{6}}{2}$
   $t_1 = \frac{1}{2}$ ч/бассейн → время 2 часа
   $t_2 = \frac{1}{3}$ ч/бассейн → время 3 часа
   Ответ: первый насос — 2 часа, второй — 3 часа.
   
   
4. Решите систему неравенств:
   $\begin{cases} \left|x^{2}-5 x\right|<6 \\ 4 \sqrt{3} \cdot \frac{x^{4}-10 x^{3}+25 x^{2}}{2 x^{2}-7 x-4} \geq 7 \cdot \frac{x^{4}-10 x^{3}+25 x^{2}}{2 x^{2}-7 x-4} \end{cases}.$
   Решение:
   Первое неравенство:
   $-6 < x^2 - 5x < 6$
   Решим $x^2 - 5x + 6 > 0$ → $(x-2)(x-3) > 0$ → $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$
   Решим $x^2 - 5x - 6 < 0$ → $(x-6)(x+1) < 0$ → $x \in (-1; 6)$
   Пересечение: $x \in (-1; 2) \cup (3; 6)$
   Второе неравенство:
   $\frac{x^2(x-5)^2(4\sqrt{3} - 7)}{2x^2 - 7x - 4} \geq 0$
   Знаменатель: $2x^2 - 7x - 4 = (2x+1)(x-4)$
   Числитель: $x^2(x-5)^2(4\sqrt{3} - 7) ≈ x^2(x-5)^2(-0.072)$
   Так как $4\sqrt{3} ≈ 6.928 < 7$, коэффициент отрицательный
   Неравенство принимает вид:
   $\frac{-0.072 \cdot x^2(x-5)^2}{(2x+1)(x-4)} \geq 0$
   Знаки выражения:
   $-0.072 \cdot \frac{x^2(x-5)^2}{(2x+1)(x-4)} \geq 0$
   Решение: $(2x+1)(x-4) < 0$ при $x \in (-0.5; 4)$
   Учитывая ОДЗ знаменателя $x \neq -0.5, 4$
   Объединяя с первым неравенством:
   $x \in (-1; -0.5) \cup (-0.5; 2) \cup (3; 4)$
   Ответ: $x \in (-1; -0.5) \cup (-0.5; 2) \cup (3; 4)$.
   
   
5. $f(x)=\frac{4-x}{x-5} \cdot \sqrt{\left(x^{2}-7 x+10\right)^{2}}$
   1) Постройте график функции $y=f(x)$.
   2) Найдите область определения, множество значений, промежутки возрастания и убывания функции $f(x)$.
   Решение:
   Упростим функцию:
   $\sqrt{(x^2 - 7x + 10)^2} = |x^2 - 7x + 10| = |(x-2)(x-5)|$
   Функция принимает вид:
   $f(x) = \frac{4 - x}{x - 5} \cdot |(x-2)(x-5)|$
   Рассмотрим случаи:
   При $x 5$: $(x-2)(x-5) > 0$ → $f(x) = \frac{4 - x}{x - 5} \cdot (x-2)(x-5) = (4 - x)(x - 2)$
   При $2 \leq x < 5$: $(x-2)(x-5) \leq 0$ → $f(x) = \frac{4 - x}{x - 5} \cdot -(x-2)(x-5) = -(4 - x)(x - 2)$
   Упростим:
   $f(x) = \begin{cases} (4 - x)(x - 2), & x \in (-\infty; 2) \cup (5; +\infty) \\ -(4 - x)(x - 2), & x \in [2; 5) \end{cases}$
   Область определения: $x \neq 5$
   Множество значений: анализируя квадратичную функцию $(4 - x)(x - 2) = -x^2 + 6x - 8$, вершина при $x = 3$, $y = 1$
   При $x 5$: $y = -x^2 + 6x - 8$ → максимум 1
   При $x \in [2; 5)$: $y = x^2 - 6x + 8$ → минимум -1 при $x = 3$
   Множество значений: $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$
   Промежутки возрастания/убывания:
   На $(-\infty; 3)$ функция возрастает до $x = 3$, затем убывает
   На $(3; 5)$ функция убывает до $x = 5$, затем возрастает на $(5; +\infty)$
   Ответ:
   1) График состоит из двух парабол с выколотой точкой при x=5
   2) Область определения: $x \in \mathbb{R} \setminus \{5\}$; Множество значений: $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$; Возрастает на $(-\infty; 3)$, убывает на $(3;5)$, возрастает на $(5; +\infty)$.
   
   
6. 1. При каких а уравнение $(a+3) x^{2}-2 a \frac{x^{2}}{x}+a-1=0$ имеет единственное решение?
      Решение:
      Упростим уравнение:
      $(a+3)x^2 - 2a x + a - 1 = 0$
      Рассмотрим случаи:
      1) $a + 3 = 0$ → $a = -3$: уравнение становится линейным $-6x -4 = 0$ → $x = -\frac{2}{3}$ — единственное решение
      2) $a + 3 \neq 0$: квадратное уравнение. Для единственности решения дискриминант должен быть нулевым:
      $D = (2a)^2 - 4(a+3)(a-1) = 4a^2 - 4(a^2 + 2a - 3) = -8a + 12 = 0 → a = \frac{12}{8} = 1.5$
      Ответ: $a = -3$ и $a = 1.5$.
      
      
   2. При каких а уравнение $(a+3) x^{4}-2 a x^{2}+a-1=0$ имеет ровно 2 различных корня?
      Решение:
      Сделаем замену $t = x^2 \geq 0$:
      $(a+3)t^2 - 2a t + a - 1 = 0$
      Рассмотрим случаи:
      1) $a + 3 = 0$ → $a = -3$: уравнение $6t -4 = 0$ → $t = \frac{2}{3}$ → два корня $x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$
      2) $a + 3 \neq 0$: квадратное уравнение относительно t. Для двух действительных корней необходимо:
      - Один положительный корень и один отрицательный (но t ≥ 0) → не подходит
      - Один корень нулевой, другой положительный: подстановка t=0 → $a -1 = 0$ → $a=1$. Проверим уравнение: $4t^2 - 2t = 0$ → t=0 и t=0.5 → два корня x=0 и x=±√0.5 → три корня, не подходит
      - Два совпадающих положительных корня: D=0 и t>0
      $D = (2a)^2 - 4(a+3)(a-1) = -8a + 12 = 0 → a = 1.5$
      При a=1.5: уравнение $4.5t^2 - 3t + 0.5 = 0$ → t=(3 ±√0)/9=1/3 → x=±√(1/3) → два корня
      - Один положительный и один нулевой корень: не подходит
      - Два различных положительных корня: D>0 и оба корня положительны
      Условия Виета:
      $t_1 + t_2 = \frac{2a}{a+3} > 0$
      $t_1 t_2 = \frac{a-1}{a+3} > 0$
      При этом D > 0 → a < 1.5
      Решая систему неравенств:
      $\frac{2a}{a+3} > 0$ и $\frac{a-1}{a+3} > 0$
      Решение: $a \in (-3; 0) \cup (1; +\infty)$
      Но при a >1: уравнение имеет два положительных корня → четыре корня x
      При a < -3: знаменатель отрицателен, числители тоже → возможно два положительных корня
      Ответ: $a = -3$, $a = 1.5$.
      
      
   
   
   
7. Числа $1224,1225,1226,1227,1228,1229$ выписали друг за другом в некотором порядке и получили 24-значное число n.
   1. Может ли $\mathrm{n}$ быть простым числом?
      Ответ: Нет. Число n заканчивается на 4, 5, 6, 7, 8 или 9 в зависимости от последнего числа в последовательности. Если последнее число 1225, то n оканчивается на 5 и делится на 5. В остальных случаях n четное (оканчивается на 4,6,8) или делится на 3 (сумма цифр всех чисел: 1+2+2+4 +1+2+2+5 +...+1+2+2+9 = 6*(1+2+2) + (4+5+6+7+8+9) = 30 + 39 = 69, что делится на 3). Следовательно, n составное.
      
      
   2. Может ли $\mathrm{n}$ быть квадратом натурального числа?
      Ответ: Нет. Квадрат числа не может оканчиваться на 2, 3, 7, 8. В зависимости от порядка, последние цифры n могут быть 4,5,6,7,8,9. Квадраты могут оканчиваться на 4,5,6,9. Однако сумма цифр n равна 69, что делится на 3, но не делится на 9 (69 mod 9 = 6). Квадрат числа должен иметь сумму цифр, кратной 9. Следовательно, противоречие.
      
      
   3. Верно ли, что $\mathrm{n}$ имеет не менее 6 различных натуральных делителей?
      Ответ: Да. Число n четное или делится на 5 (в зависимости от порядка), также делится на 3. Минимальные делители: 1, 2, 3, 6, ... или 1, 3, 5, 15, ... В любом случае делителей не менее 6.