8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1511 из 8 в 9 класс 2016 год (вариант 2)

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1511 ПРИ МИФИ


2016 год


Вариант 2



  1. Упростите выражение: $\sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{7-4 \sqrt{3}}$
  2. Решите уравнение: $\left(\frac{2 x}{x+1}-1\right)^{2}-4\left(\frac{x+1}{2 x}-1\right)^{2}=0$
  3. Решите неравенство $(5-|x+2|) \cdot(\sqrt{6-x}-2)>0$
  4. Постройте график уравнения $x^{2}+2 x+y^{2}=0$
  5. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\frac{x^{2}-\left(a^{2}+3\right) x+3 a^{2}}{x-4}=0$ будет иметь только один корень?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: $\sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{7-4 \sqrt{3}}$
    Решение: Представим подкоренные выражения в виде квадратов:
    $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$,
    $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3}$.
    Сумма:
    $(2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$.
    Ответ: 4.
  2. Решите уравнение: $\left(\frac{2 x}{x+1}-1\right)^{2}-4\left(\frac{x+1}{2 x}-1\right)^{2}=0$
    Решение:
    Упростим выражения в скобках:
    $\frac{2x}{x+1} - 1 = \frac{x-1}{x+1}$,
    $\frac{x+1}{2x} - 1 = \frac{1-x}{2x}$.
    Подставим в уравнение:
    $\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2 - 4\left(\frac{1-x}{2x}\right)^2 = 0$.
    Упростим второе слагаемое:
    $4 \cdot \left(\frac{(1 - x)^2}{4x^2}\right) = \frac{(1 - x)^2}{x^2}$.
    Запишем уравнение:
    $\frac{(1 - x)^2}{(x + 1)^2} - \frac{(1 - x)^2}{x^2} = 0$.
    Вынесем общий множитель:
    $(1 - x)^2 \cdot \left(\frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{x^2}\right) = 0$.
    Решения:
    1) $1 - x = 0 \implies x = 1$,
    2) $\frac{1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{x^2} \implies x^2 = (x + 1)^2 \implies 2x + 1 = 0 \implies x = -0,5$.
    Проверяя ОДЗ ($x \neq -1, 0$), оба корня верны.
    Ответ: $x = 1$; $x = -0,5$.
  3. Решите неравенство $(5-|x+2|) \cdot(\sqrt{6-x}-2)>0$
    Решение:
    ОДЗ: $6 - x \geq 0 \implies x \leq 6$.
    Найдём нули множителей:
    1) $5 - |x + 2| = 0 \implies x = 3$ или $x = -7$,
    2) $\sqrt{6 - x} - 2 = 0 \implies x = 2$.
    Разобьём числовую прямую на интервалы и определим знаки:
    • $x 0$ → не подходит.
    • $-7 < x 0$ → подходит.
    • $2 < x < 3$: $(+)(-) < 0$ → не подходит.
    • $3 < x 0$ → подходит.

    Учитывая ОДЗ и исключая нули множителей:
    Ответ: $x \in (-7; -2) \cup (3; 6)$.

  4. Постройте график уравнения $x^{2}+2 x+y^{2}=0$
    Решение:
    Преобразуем уравнение:
    $x^2 + 2x + y^2 = (x + 1)^2 - 1 + y^2 = 0 \implies (x + 1)^2 + y^2 = 1$.
    Это уравнение окружности с центром в $(-1, 0)$ и радиусом 1.
    Ответ: окружность $(x + 1)^2 + y^2 = 1$.

  5. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\frac{x^{2}-\left(a^{2}+3\right) x+3 a^{2}}{x-4}=0$ будет иметь только один корень?
    Решение:
    Числитель раскладывается на множители:
    $x^2 - (a^2 + 3)x + 3a^2 = (x - 3)(x - a^2)$.
    Уравнение имеет корни: $x = 3$ и $x = a^2$, исключая $x = 4$.
    Единственный корень возможен, если:
    • Корни совпадают: $3 = a^2 \implies a = \pm \sqrt{3}$,
    • Второй корень равен 4 и исключается: $a^2 = 4 \implies a = \pm 2$.

    Ответ: $a = \pm 2$, $a = \pm \sqrt{3}$.
Материалы школы Юайти