8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1511 из 8 в 9 класс 2016 год (вариант 1)

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1511 ПРИ МИФИ


2016 год


Вариант 1



  1. Упростите выражение: $$ \frac{4 x^{2}-6 x y+9 y^{2}}{2 x-3 y} \cdot \frac{9 y^{2}-4 x^{2}}{8 x^{3}+27 y^{3}} $$
  2. Решите уравнение: $$ |3 x-5| \cdot(x+1)=3 $$
  3. Решите неравенство $\frac{x^{2}-14 x+49}{x^{2}+3 x} \leq 0$
  4. Найти последнюю цифру числа $2^{1511}+9^{4^{1523}}$.
  5. Треугольник $A B C$ вписан в окружность радиуса 5 см. Найдите длину стороны $A B$, если длины сторон $A C$ и $B C$ равны $2 c$ с и 4 см.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение:
    $\frac{4 x^{2}-6 x y+9 y^{2}}{2 x-3 y} \cdot \frac{9 y^{2}-4 x^{2}}{8 x^{3}+27 y^{3}}$
    Решение:
    Разложим числители и знаменатели на множители:
    • Числитель первой дроби: \(4x^2 -6xy +9y^2 = (2x)^2 - (2x)(3y) + (3y)^2 = (2x -3y)^2 + 3xy\)
    • Разность квадратов числителя второй дроби: \(9y^2 -4x^2 = -(4x^2 -9y^2) = -(2x -3y)(2x +3y)\)
    • Знаменатель второй дроби — сумма кубов: \(8x^3 +27y^3 = (2x +3y)(4x^2 -6xy +9y^2)\)
    Подставим разложения в исходное выражение:
    $\frac{(2x -3y)^2 +3xy}{2x -3y} \cdot \frac{-(2x -3y)(2x +3y)}{(2x +3y)( (2x)^2 - (2x)(3y) + (3y)^2 )} = -1$
    Ответ: \(-1\).
  2. Решите уравнение:
    $|3x-5| \cdot (x+1) = 3$
    Решение:
    Рассмотрим два случая:
    1. \(3x -5 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{5}{3}\):
      \((3x -5)(x +1) = 3 \Rightarrow 3x^2 -2x -8 = 0\)
      Дискриминант \(D = 100 \Rightarrow x_1 = 2\), \(x_2 = -\frac{4}{3}\).
      Из условия \(x \geq \frac{5}{3}\) остается \(x = 2\).
    2. \(3x -5 < 0 \Rightarrow x < \frac{5}{3}\):
      \((5 -3x)(x +1) = 3 \Rightarrow 3x^2 -2x -2 = 0\)
      Дискриминант \(D = 28 \Rightarrow x_1 = \frac{1 + \sqrt{7}}{3}\), \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{7}}{3}\).
      Оба корня удовлетворяют \(x < \frac{5}{3}\).
    Ответ: \(2\), \(\frac{1 + \sqrt{7}}{3}\), \(\frac{1 - \sqrt{7}}{3}\).
  3. Решите неравенство:
    $\frac{x^2 -14x +49}{x^2 +3x} \leq 0$
    Решение:
    Числитель: \((x -7)^2 \geq 0\).
    Знаменатель: \(x(x +3)\).
    Неравенство выполняется при \(x(x +3) < 0 \Rightarrow x \in (-3; 0)\) и \(x =7\) (числитель равен нулю).
    Ответ: \(x \in (-3; 0) \cup \{7\}\).
  4. Найти последнюю цифру числа \(2^{1511} +9^{4^{1523}}\).
    Решение:
    • Для \(2^{1511}\): цикличность последних цифр 2, 4, 8, 6. \(1511 \mod 4 = 3 \Rightarrow 2^{1511} \equiv 8 \mod10\).
    • Для \(9^{4^{1523}}\): цикличность последних цифр 9, 1. \(4^{1523}\) — чётная степень \(\Rightarrow 9^{\text{чёт}} \equiv 1 \mod10\).
    Сумма: \(8 +1 =9 \mod10\).
    Ответ: 9.
  5. Треугольник \(ABC\) вписан в окружность радиуса 5 см. \(AC =2\) см, \(BC =4\) см. Найти \(AB\).
    Решение: По теореме синусов:
    \(\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} = 2R =10\):
    • \(\sin B = \frac{2}{10} =0.2\), \(\cos B = \frac{2\sqrt{6}}{5}\)
    • \(\sin A = \frac{4}{10}=0.4\), \(\cos A = \frac{\sqrt{21}}{5}\)
    • \(\sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B = \frac{4\sqrt{6}+\sqrt{21}}{25}\)
    • \(AB = 2R \cdot \sin (A+B) = 10 \cdot \frac{4\sqrt{6}+\sqrt{21}}{25} = \frac{8\sqrt{6} +2\sqrt{21}}{5}\)
    Ответ: \(\frac{8\sqrt{6} +2\sqrt{21}}{5}\) см.
Материалы школы Юайти