8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1511 из 7 в 8 класс 2019 год (вариант 2)

Сложность:
Дата экзамена: 2019
Сложность:
Дата экзамена: 2019
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1511


2019 год


Вариант 2



  1. Вычислите значение выражения $1 \frac{1}{7}-\frac{4}{7} \cdot 5 \frac{1}{4}$.
  2. Разложите на множители выражение $9 x^{2}-(y+4 x)(y-4 x)+y-5 x$.
  3. Решите уравнение $12+|x-2|=5|x-2|$.
  4. Вычислите значение выражения $\frac{16^{3} \cdot(-5)^{5}}{20^{4}}$.
  5. Решите уравнение $\frac{x}{2}-\frac{x+4}{9}=\frac{2 x-1}{12}$.
  6. Представьте выражение $(4 a+7)^{2}+(3 a-1)^{2}+50 a+50$ в виде квадрата суммы.
  7. В треугольнике $A B C$ через вершину $B$ проведена прямая параллельная стороне $A C$. Биссектриса угла $B A C$ пересекает эту прямую в точке $K$ так, что $\angle B K A=37^{\circ}$. Найдите $\angle A B K$.
  8. В равнобедренном треугольнике $A B C$ с основанием $A C$ сумма всех внутренних углов и внешнего угла при вершине $B$ равна $290^{\circ} .$ Найдите внутренние углы треугольника $A B C$.
  9. Сумма четырех последовательных натуральных чисел, делящихся на 3 , равна 510 . Найдите эти числа.
  10. Дан равнобедренный треугольник $A B C$. Известно, что вершины его основания имеют координаты $A(-1 ; 1)$ и $B(9 ; 1)$, а длина высоты, проведенной из вершины $C$, составляет $30 \%$ от длины основания $A B$. А) Найдите координаты точки С. Б) Найдите координаты точки пересечения прямой $A C$ с осью ординат.
  11. Два магазина закупили у поставщиков одинаковое количество товара по одной цене и начали его продавать. Первый магазин продал товар в 2 раза дороже закупочной цены. Второй магазин сначала поднял цену на $60 \%$ и продал четвертую часть товара, затем поднял цену еще на $40 \%$ и продал оставшуюся часть товара. Какой магазин выручил больше денег от продажи товара?
  12. В прямоугольном треугольнике $A B C$, у которого $\angle C=90^{\circ}, \angle B=30^{\circ}$ проведена биссектриса $A L=16$. Из точки $L$ проведена высота $L K$ треугольника $A L B$, из точки $K$ проведена высота $K M$ треугольника $L K B$, а из точки $M$ проведена высота $M N$ треугольника $K M B$. Найдите $M N$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: $(3 x-1)(3 x+1)-(2 x-5)^{2}+1=0$
    Решение:
    $(3x-1)(3x+1) = 9x^2 - 1$
    $(2x-5)^2 = 4x^2 - 20x + 25$
    Уравнение примет вид:
    $9x^2 - 1 - (4x^2 - 20x + 25) + 1 = 0$
    $9x^2 - 1 - 4x^2 + 20x - 25 + 1 = 0$
    $5x^2 + 20x - 25 = 0$
    $x^2 + 4x - 5 = 0$
    $D = 16 + 20 = 36$
    $x = \frac{-4 \pm 6}{2} \Rightarrow x_1 = 1, \ x_2 = -5$
    Ответ: $-5; \ 1$.
  2. Упростите выражение: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}+2}-\frac{6-\sqrt{32}}{\sqrt{8}-3}$
    Решение:
    Упростим корни: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}, \ \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
    Первая дробь:
    $\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 2} \cdot \frac{2\sqrt{2} - 2}{2\sqrt{2} - 2} = \frac{\sqrt{2}(2\sqrt{2} - 2)}{(2\sqrt{2})^2 - 2^2} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{8 - 4} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
    Вторая дробь:
    $\frac{6 - 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2} - 3} \cdot \frac{2\sqrt{2} + 3}{2\sqrt{2} + 3} = \frac{(6 - 4\sqrt{2})(2\sqrt{2} + 3)}{(2\sqrt{2})^2 - 3^2} = \frac{12\sqrt{2} + 18 - 16 - 12\sqrt{2}}{8 - 9} = \frac{2}{-1} = -2$
    Общий результат:
    $1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - (-2) = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
    Ответ: $3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
  3. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:
    $\frac{12}{5}\left(-\frac{x}{2}+\frac{1}{3}\right)-\frac{4-x}{6}>\frac{2 x+7}{5}$
    Решение:
    Умножаем все части на 30:
    $72(-\frac{x}{2} + \frac{1}{3}) - 5(4 - x) > 6(2x + 7)$
    Раскрываем скобки:
    $-36x + 24 - 20 + 5x > 12x + 42$
    $-31x + 4 > 12x + 42$
    $-43x > 38 \Rightarrow x < -\frac{38}{43} \approx -0.883$
    Наибольшее целое: $-1$
    Ответ: $-1$.
  4. Логическая задача.
    Решение:
    Чернова (хорошистка) не может иметь черные волосы. Белова (отличница) не может иметь белые волосы. Рыжова (троечница) не рыжая. Черноволосая — это Белова. Хорошистка Чернова — рыжая.
    Ответ: рыжие.
  5. Упростите выражение: $\frac{b^{2}-4}{2 b^{2}-5 b+2} \cdot \frac{2 b-1}{b^{2}}-\frac{1}{b}$
    Решение:
    Разложим множители:
    $\frac{(b-2)(b+2)}{(2b - 1)(b - 2)} \cdot \frac{2b - 1}{b^2} - \frac{1}{b} = \frac{b + 2}{b^2} - \frac{1}{b} = \frac{b + 2 - b}{b^2} = \frac{2}{b^2}$
    Ответ: $\frac{2}{b^2}$.
  6. Задача на работу комбайнов.
    Решение:
    Пусть время второго комбайна — $t$ часов, тогда первого — $t - 11$ часов.
    $\frac{12}{t - 11} + \frac{15}{t} = 1$
    $12t + 15(t - 11) = t(t - 11)$
    $12t + 15t - 165 = t^2 - 11t \Rightarrow t^2 - 38t + 165 = 0$
    $D = 38^2 - 660 = 784 \Rightarrow t = \frac{38 \pm 28}{2} \Rightarrow t_1 = 33, \ t_2 = 5$ (не подходит)
    Ответ: 22 ч и 33 ч.
  7. Геометрическая задача на высоту в треугольнике.
    Решение:
    Гипотенуза $AB = \frac{AC}{\cos 30^\circ} = \frac{12}{\sqrt{3}/2} = 8\sqrt{3}$
    Площадь $\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK$
    $BC = AB \sin 30^\circ = 4\sqrt{3}$
    $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} \cdot CK \Rightarrow CK = 6$
    Ответ: 6.
  8. Доказательство равенства отрезков в параллелограмме.
    Решение:
    Треугольники $BEF$ и $DFE$ равны по катету и гипотенузе: $BE = DF$ (как перпендикуляры к диагонали), $EF = FE$ (общая сторона). Значит, $BF = DE$.
    Ответ: доказано.
  9. Высота трапеции.
    Решение:
    Проекции боковых сторон: $x$ и $3 - x$:
    $h^2 + x^2 = 5$ и $h^2 + (3 - x)^2 = 7$
    Вычитаем: $(3 - x)^2 - x^2 = 2 \Rightarrow 9 - 6x = 2 \Rightarrow x = \frac{7}{6}$
    $h = \sqrt{5 - \left(\frac{7}{6}\right)^2} = \sqrt{\frac{131}{36}} = \frac{\sqrt{131}}{6}$
    Ответ: $\frac{\sqrt{131}}{6}$.
  10. Построение графика функции и значение $m$.
    Решение:
    Упростим для $x \leq 3$ (исключая $x=1,2$):
    $\frac{(x-2)^2(4x - 4)}{(x-1)(x-2)} = 4(x - 2)$
    График: прямая $y = 4x - 8$ с выколотыми точками $(1, -4)$, $(2, 0)$. Для $x > 3$: $y = -2x + 10$.
    Единственная общая точка при $m = 4$, $m = 0$, $m = -4$.
    Ответ: $m \in \{-4, \ 0, \ 4\}$.
Материалы школы Юайти