Лицей №1511 из 7 в 8 класс 2019 год (вариант 1)

ЛИЦЕЙ №1511

2019 год

Вариант 1

1. Решите уравнение $(3 x-1)(3 x+1)-(2 x-5)^{2}+1=0$.
2. Упростите выражение $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}+2}-\frac{6-\sqrt{32}}{\sqrt{8}-3}$.
3. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $$ \frac{12}{5}\left(-\frac{x}{2}+\frac{1}{3}\right)-\frac{4-x}{6}>\frac{2 x+7}{5} $$
4. Три подруги-ученицы: отличница Белова, хорошистка Чернова и троечница Рыжова собирались на дискотеку. Вдруг черноволосая заметила: «Одна из нас имеет белые волосы, другая черноволосая, а третья - рыжая. Но ни у одной из нас цвет волос не совпадает с фамилией» «Да, ты права», - поддержала отличница. Какого цвета волосы были у хорошистки?
5. Упростите выражение $\frac{b^{2}-4}{2 b^{2}-5 b+2} \cdot \frac{2 b-1}{b^{2}}-\frac{1}{b}$.
6. Поле было убрано двумя комбайнами, при этом первый из них работал 12ч, а второй 15 ч. За сколько часов каждым из комбайнов можно убрать это поле, если первому потребовалось бы для этого на 11 ч меньше, чем второму?
7. В прямоугольном треугольнике $A B C$ катет $A C$ равен $12, \angle B=30^{\circ} .$ Найдите длину высоты $C K$, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.
8. В параллелограмме $A B C D$ проведены перпендикуляры $B E$ и $D F$ к диагонали $A C .$ Докажите, что отрезки $B F$ и $D E$ равны.
9. Найдите высоту трапеции, если ее боковые стороны равны $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$, а основания равны 3 и $6 .$
10. Постройте график функции $y=\left\{\begin{array}{l}\frac{\left(x^{2}-4 x+4\right)(4 x-4)}{x^{2}-3 x+2}, x \leq 3 \\ -2 x+10, x>3\end{array}\right.$ Укажите, при каком значении $m$ прямая $y=m \quad$ имеет с графиком только одну общую точку.

Решения задач

1. Вычислите значение выражения \(1 \frac{1}{7} - \frac{4}{7} \cdot 5 \frac{1}{4}\).
   Решение: \[ 1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}; \quad 5\frac{1}{4} = \frac{21}{4} \] \[ \frac{4}{7} \cdot \frac{21}{4} = \frac{84}{28} = 3 \] \[ \frac{8}{7} - 3 = \frac{8}{7} - \frac{21}{7} = -\frac{13}{7} = -1\frac{6}{7} \] Ответ: \(-\frac{13}{7}\).
2. Разложите на множители выражение \(9x^2 - (y + 4x)(y - 4x) + y - 5x\).
   Решение: \[ (y + 4x)(y - 4x) = y^2 - 16x^2 \] \[ 9x^2 - (y^2 - 16x^2) + y - 5x = 25x^2 - y^2 + y - 5x \] Группировка: \[ (5x - y)(5x + y) + (y - 5x) = (5x - y)(5x + y - 1) \] Ответ: \((5x - y)(5x + y - 1)\).
3. Решите уравнение \(12 + |x - 2| = 5|x - 2|\).
   Решение: \[ 12 = 4|x - 2| \quad \Rightarrow \quad |x - 2| = 3 \] \[ x - 2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 5 \] \[ x - 2 = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \] Ответ: \(5; -1\).
4. Вычислите значение выражения \(\frac{16^3 \cdot (-5)^5}{20^4}\).
   Решение: \[ 16 = 2^4; \quad 20 = 2^2 \cdot 5 \] \[ \frac{(2^4)^3 \cdot (-5)^5}{(2^2 \cdot 5)^4} = \frac{2^{12} \cdot (-5)^5}{2^8 \cdot 5^4} = 2^4 \cdot (-5) = 16 \cdot (-5) = -80 \] Ответ: \(-80\).
5. Решите уравнение \(\frac{x}{2} - \frac{x + 4}{9} = \frac{2x - 1}{12}\).
   Решение: Умножив обе части на 36: \[ 18x - 4(x + 4) = 3(2x - 1) \] \[ 18x - 4x - 16 = 6x - 3 \quad \Rightarrow \quad 8x = 13 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{13}{8} \] Ответ: \(\frac{13}{8}\).
6. Представьте выражение \((4a + 7)^2 + (3a - 1)^2 + 50a + 50\) в виде квадрата суммы.
   Решение: Раскрываем скобки: \[ 16a^2 + 56a + 49 + 9a^2 - 6a + 1 + 50a + 50 = 25a^2 + 100a + 100 \] Выделяем квадрат: \[ (5a + 10)^2 \] Ответ: \((5a + 10)^2\).
7. Найдите \(\angle ABK\) в треугольнике \(ABC\) с условиями.
   Решение: \(\angle BKA = 37^\circ\), \(BK \parallel AC\). При параллельности: \[ \angle BAK = \angle BKA = 37^\circ \] В треугольнике \(ABK\): \[ \angle ABK = 180^\circ - 37^\circ - 37^\circ = 106^\circ \] Ответ: \(106^\circ\).
8. Найдите внутренние углы треугольника \(ABC\).
   Решение: Сумма внутренних углов и внешнего угла при \(B\): \[ 180^\circ + (углы\ A\ и\ C) = 290^\circ \quad \Rightarrow \quad \angle A + \angle C = 110^\circ \] Равнобедренность \(ABC\): \[ \angle A = \angle C = 55^\circ, \quad \angle B = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \] Ответ: \(55^\circ; 55^\circ; 70^\circ\).
9. Найдите четыре последовательных числа.
   Решение: Пусть первое число \(3n\), тогда: \[ 3n + 3(n + 1) + 3(n + 2) + 3(n + 3) = 510 \quad \Rightarrow \quad 12n + 18 = 510 \quad \Rightarrow \quad n = 41 \] Числа: \(123, 126, 129, 132\).
   Ответ: \(123; 126; 129; 132\).
10. (A) Координаты вершины \(C\):
    Решение: Основание \(AB = 10\), высота \(3\). Середина \(AB\) — \((4;1)\). Вершина \(C\) — \((4;4)\) или \((4;-2)\). Пункт (Б) пересечение \(AC\) с осью \(Oy\) (\(x = 0\)): для \(AC\) через \((-1;1)\) и \((4;4)\): \[ y - 1 = \frac{3}{5}(x + 1) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3}{5}x + \frac{8}{5} \] При \(x = 0\): \(y = \frac{8}{5}\). Ответ: \((0; \frac{8}{5})\).
11. Сравнение выручки магазинов.
    Решение: Пусть закупочная цена \(p\), количество \(Q\). Первый магазин: \[ 2p \cdot Q = 2pQ \] Второй магазин: \[ 1,6p \cdot \frac{Q}{4} + 2,24p \cdot \frac{3Q}{4} = 0,4pQ + 1,68pQ = 2,08pQ \] Ответ: Второй магазин выручил больше.
12. Найдите \(MN\).
    Решение: После серии построений высот: \[ MN = KM = \sqrt{(1,5)^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 3 \] Ответ: \(3\).