Лицей №1511 из 7 в 8 класс 2018 год (вариант 2)

ЛИЦЕЙ №1511

2018 год

Вариант 2

1. Разложите на неразложимые множители:
   1. $9 x^{3}-81 x ;$
   2. $14-x^{2}-2 x y-y^{2} .$
   3. * $c^{2}-2 c+1-d^{2}-2 d e-e^{2} .$
2. Решите уравнение:
   1. $2 x+\frac{6 x-5}{7}=\frac{8 x+7}{3}$
   2. $x^{2}(x-2)-2 x(x-2)^{2}=0$
   3. $2 x^{4}-2 x^{3}-2 x^{2}+2 x=0$
3. Найдите значения выражений:
   1. $38,8^{2}+83 \cdot 15,4-44,2^{2}$;
   2. $\frac{47^{2}-3^{2}}{27^{2}+2 \cdot 27 \cdot 13+13^{2}}$
   3. *Вычислить сумму $$ S=\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\ldots+\frac{1}{99 \cdot 101}+\frac{1}{101 \cdot 103} $$
4. Решите задачу:
   1. На станции технического обслуживания трое автомехаников отремонтировали 68 автомобилей. Первый починил на 10 автомобилей меньше, чем второй, а третий - на 15 больше, чем второй. Сколько автомобилей починил каждый механик?
   2. Скорость течения реки 5 км/ч. На путь от $\mathrm{M}$ до $\mathrm{N}$ по течению реки судно тратит 3 ч, а на обратный путь 4,5 ч. Какова скорость судна в стоячей воде?
   3. * Смешав кислоту 78-процентной и 48-процентной концентрации, получили 660 г кислоты 60-процентной концентрации. Сколько было взято кислоты каждого вида?

Решения задач

1. Разложите на неразложимые множители:
   1. $9 x^{3}-81 x$
      Решение: Вынесем общий множитель:
      $9x^{3} - 81x = 9x(x^{2} - 9) = 9x(x - 3)(x + 3)$
      Ответ: $9x(x - 3)(x + 3)$.
      
      
   2. $14 - x^{2} - 2xy - y^{2}$
      Решение: Сгруппируем квадраты:
      $14 - (x^{2} + 2xy + y^{2}) = 14 - (x + y)^{2} = (\sqrt{14} - x - y)(\sqrt{14} + x + y)$
      Ответ: $(\sqrt{14} - x - y)(\sqrt{14} + x + y)$.
      
      
   3. * $c^{2} - 2c + 1 - d^{2} - 2de - e^{2}$
      Решение: Выделим полные квадраты:
      $(c - 1)^{2} - (d + e)^{2} = (c - 1 - d - e)(c - 1 + d + e)$
      Ответ: $(c - 1 - d - e)(c - 1 + d + e)$.
   
   
   
2. Решите уравнение:
   1. $2x + \frac{6x - 5}{7} = \frac{8x + 7}{3}$
      Решение: Умножим обе части на 21:
      $42x + 3(6x - 5) = 7(8x + 7)$
      $42x + 18x - 15 = 56x + 49$
      $60x - 15 = 56x + 49$
      $4x = 64 \quad \Rightarrow \quad x = 16$
      Ответ: 16.
      
      
   2. $x^{2}(x - 2) - 2x(x - 2)^{2} = 0$
      Решение: Вынесем общий множитель:
      $x(x - 2)[x - 2(x - 2)] = 0$
      $x(x - 2)(-x + 4) = 0$
      Корни: $x = 0$, $x = 2$, $x = 4$
      Ответ: 0; 2; 4.
      
      
   3. $2x^{4} - 2x^{3} - 2x^{2} + 2x = 0$
      Решение: Вынесем общий множитель:
      $2x(x^{3} - x^{2} - x + 1) = 0$
      Разложим кубический многочлен:
      $(x - 1)^{2}(x + 1) = 0$
      Корни: $x = 0$, $x = 1$ (кратность 2), $x = -1$
      Ответ: -1; 0; 1.
   
   
   
3. Найдите значения выражений:
   1. $38,8^{2} + 83 \cdot 15,4 - 44,2^{2}$
      Решение: Используем разность квадратов:
      $(38,8^{2} - 44,2^{2}) + 83 \cdot 15,4 = (38,8 - 44,2)(38,8 + 44,2) + 83 \cdot 15,4 = (-5,4 \cdot 83) + 83 \cdot 15,4 = 83 \cdot 10 = 830$
      Ответ: 830.
      
      
   2. $\frac{47^{2} - 3^{2}}{27^{2} + 2 \cdot 27 \cdot 13 + 13^{2}}$
      Решение: Упростим числитель и знаменатель:
      Числитель: $(47 - 3)(47 + 3) = 44 \cdot 50 = 2200$
      Знаменатель: $(27 + 13)^{2} = 40^{2} = 1600$
      $\frac{2200}{1600} = \frac{11}{8} = 1,375$
      Ответ: $\frac{11}{8}$.
      
      
   3. * Вычислить сумму $S = \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{99 \cdot 101} + \frac{1}{101 \cdot 103}$
      Решение: Представим слагаемые в виде разности:
      $\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1}\right)$
      Сумма телескопируется:
      $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{103}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{100}{309} = \frac{50}{309}$
      Ответ: $\frac{50}{309}$.
   
   
   
4. Решите задачу:
   1. На станции технического обслуживания трое автомехаников отремонтировали 68 автомобилей.
      Решение: Пусть второй механик починил $x$ автомобилей:
      $(x - 10) + x + (x + 15) = 68$
      $3x + 5 = 68 \quad \Rightarrow \quad x = 21$
      Ответ: 11; 21; 36.
      
      
   2. Скорость течения реки 5 км/ч.
      Решение: Пусть скорость судна $v$ км/ч:
      $(v + 5) \cdot 3 = (v - 5) \cdot 4,5$
      $3v + 15 = 4,5v - 22,5 \quad \Rightarrow \quad v = 25$
      Ответ: 25 км/ч.
      
      
   3. * Смешав кислоту 78-процентной и 48-процентной концентрации.
      Решение: Пусть взяли $x$ г 78% кислоты и $y$ г 48\%:
      $\begin{cases} x + y = 660 \\ 0,78x + 0,48y = 396 \end{cases}$
      Решение системы: $x = 264$ г, $y = 396$ г
      Ответ: 264 г и 396 г.