Лицей №1511 из 7 в 8 класс 2017 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ №1511
2017 год
Вариант 2
В заданиях B1–B10 записать ответ в указанном месте. Если получается несколько вариантов, нужно
указать их все. Калькулятором, литературой, шпаргалкой и т.п. пользоваться нельзя.
Часть А
- Вычислите: $\left(4 \sqrt{8}+\frac{1}{2} \sqrt{32}-\frac{1}{3} \sqrt{18}\right) \cdot \sqrt{2}$. Ответ:
- Упростите выражение: $10 a-5(1+a)^{2}$. Ответ:
- Из уравнения прямой $y=k x+b$ выразите угловой коэффициент $k$. Ответ:
- В треугольнике $A B C$ угол $A=40^{\circ}$, угол $C=50^{\circ} .$ Найти угол между высотой $B H$ и биссектрисой $B D .$ Ответ:
- Выполните деление дробей $\frac{9 x^{2}-6 x+1}{x^{2}-1}: \frac{3 x-1}{x+1} .$ Ответ:
- Решите систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}2 x+5 y=4, \\ 3 x+10 y=8 .\end{array}\right.$ Ответ:
- Решите неравенство: $5(x+2)-6 x<8 x-8$. Ответ:
- Не решая уравнение, определите, сколько оно имеет корней. Соотнесите уравнения с ответами.
1) $x^{2}+8 x+16=0$.
2) $2 x^{2}+3 x-5=0$.
3) $x^{2}-7 x+18=0$.
А) Два корня.
Б) Один корень.
В) Нет действительных корней.
Ответ:
$\mathrm{A}$ Б $\mathrm{B}$ - Расстояние между пристанями катер проходит по течению реки за 2 часа, а против течения реки за 3 часа. Какова скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде $25 \mathrm{~km} /$ч?
- По графику квадратичной функции найдите, при каких значениях $x$ значения функции положительны.
Часть В
Привести полное решение и ответ
В1. Найдите сумму корней уравнения: $25 x^{2}-9=0$.
В2. Найдите значение выражения $(3 x-2)^{2}-(3 x+2)^{2}$ при $x=-\frac{1}{24}$.
В3. При помоле пшеницы получается $80 \%$ муки. Сколько пшеницы нужно смолоть, чтобы получить 220 кг пшеничной муки?
В4. В ромбе $A B C D$ диагональ $A C=4 \sqrt{5}$, а радиус вписанной окружности $4 .$ Найти площадь ромба.
В5. Известно, что график функции $y=b x^{2}-5 x+5$ проходит через точку $D(1 ; 3) .$ Найдите абсциссу вершины параболы.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите: $\left(4 \sqrt{8}+\frac{1}{2} \sqrt{32}-\frac{1}{3} \sqrt{18}\right) \cdot \sqrt{2}$.
Решение:
Упростим корни:
$4\sqrt{8} = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$,
$\frac{1}{2}\sqrt{32} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$,
$\frac{1}{3}\sqrt{18} = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{2} = \sqrt{2}$.
Подставим обратно:
$(8\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 9\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 9 \cdot 2 = 18$.
Ответ: 18.
- Упростите выражение: $10 a-5(1+a)^{2}$.
Решение:
Раскроем квадрат:
$5(1 + a)^2 = 5(1 + 2a + a^2) = 5 + 10a + 5a^2$.
Тогда выражение:
$10a - (5 + 10a + 5a^2) = -5a^2 - 5$.
Ответ: $-5a^2 - 5$.
- Из уравнения прямой $y=k x+b$ выразите угловой коэффициент $k$.
Решение:
Выразим $k$:
$k = \frac{y - b}{x}$.
Ответ: $k = \frac{y - b}{x}$.
- В треугольнике $A B C$ угол $A=40^{\circ}$, угол $C=50^{\circ}$. Найти угол между высотой $B H$ и биссектрисой $B D$.
Решение:
Угол $B = 90^{\circ}$. Биссектриса делит угол $B$ на $45^{\circ}$. Высота $BH$ образует угол $40^{\circ}$ с катетом $BC$. Тогда угол между $BH$ и $BD$ равен $45^{\circ} - 40^{\circ} = 5^{\circ}$.
Ответ: $5^{\circ}$.
- Выполните деление дробей $\frac{9 x^{2}-6 x+1}{x^{2}-1}: \frac{3 x-1}{x+1}$.
Решение:
Разложим числитель первой дроби:
$9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2$.
Знаменатель: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Деление преобразуется в умножение на обратную дробь:
$\frac{(3x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} \cdot \frac{x + 1}{3x - 1} = \frac{3x - 1}{x - 1}$.
Ответ: $\frac{3x - 1}{x - 1}$.
- Решите систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}2 x+5 y=4, \\ 3 x+10 y=8 .\end{array}\right.$
Решение:
Умножим первое уравнение на 2:
$4x + 10y = 8$.
Вычтем из второго уравнения:
$(3x + 10y) - (4x + 10y) = 8 - 8 \Rightarrow -x = 0 \Rightarrow x = 0$.
Подставим $x = 0$ в первое уравнение:
$0 + 5y = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{5}$.
Ответ: $(0; \frac{4}{5})$.
- Решите неравенство: $5(x+2)-6 x<8 x-8$.
Решение:
Раскроем скобки:
$5x + 10 - 6x < 8x - 8 \Rightarrow -x + 10 < 8x - 8$.
Перенесем все $x$ вправо:
$10 + 8 < 9x \Rightarrow 18 2$.
Ответ: $x > 2$.
- Соотнесите уравнения с количеством корней.
Решение:
1) $x^2 + 8x + 16 = 0: D = 64 - 0 — 0$ — один корень.
2) $2x^2 + 3x - 5 = 0: D = 9 + 40 = 49$ — два корня.
3) $x^2 - 7x + 18 = 0: D = 49 - 72 = -23$ — нет корней.
Ответ:
А Б В 2 1 3
- Скорость течения реки.
Решение:
Пусть скорость течения $x$ км/ч. Тогда:
$2(25 + x) = 3(25 - x) \Rightarrow 50 + 2x = 75 - 3x \Rightarrow 5x = 25 \Rightarrow x = 5$.
Ответ: 5 км/ч.
- Значения $x$, при которых функция положительна.
Решение:
По графику видно, что функция положительна между корнями $x = 0$ и $x = 2$.
Ответ: $(0; 2)$.
- Найдите сумму корней уравнения: $25 x^{2}-9=0$.
Решение:
$25x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = \frac{9}{25} \Rightarrow x = \pm \frac{3}{5}$.
Сумма корней: $\frac{3}{5} + (-\frac{3}{5}) = 0$.
Ответ: 0.
- Найдите значение выражения $(3 x-2)^{2}-(3 x+2)^{2}$ при $x=-\frac{1}{24}$.
Решение:
Используем разность квадратов:
$(3x - 2 - 3x - 2)(3x - 2 + 3x + 2) = (-4)(6x) = -24x$.
Подставим $x = -\frac{1}{24}$:
$-24 \cdot (-\frac{1}{24}) = 1$.
Ответ: 1.
- Сколько пшеницы нужно смолоть для получения 220 кг муки?
Решение:
Мука составляет $80\%$ от пшеницы:
$220 : 0,8 = 275$ кг.
Ответ: 275 кг.
- Найдите площадь ромба.
Решение:
Диагональ $AC = 4\sqrt{5}$, радиус вписанной окружности $r = 4$.
Площадь ромба $S = r \cdot 2a$, где $a$ — сторона ромба.
Через диагонали: $S = \frac{4\sqrt{5} \cdot BD}{2} = 2\sqrt{5} \cdot BD$.
Решив систему уравнений, находим $a = 10$, тогда $S = 8a = 80$.
Ответ: 80.
- Найдите абсциссу вершины параболы.
Решение:
Подставим точку $D(1; 3)$ в уравнение:
$3 = b \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 5 \Rightarrow b = 3$.
Абсцисса вершины: $x = \frac{5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.
Материалы школы Юайти