8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1511 из 7 в 8 класс 2017 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2017
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1511


2017 год


Вариант 1



  1. Решите уравнение:
    1. $\frac{x-2}{5}-\frac{5-2 x}{4}=4-x-\frac{4 x-1}{20}$;
    2. $x(2-x)(x+2)=12-(x+2)\left(4-2 x+x^{2}\right)$
    3. $4 x-4=(x-1)^{2}$.
  2. Разложите на неразложимые множители:
    1. $25 x^{2}+10 x y+y^{2}-10 x-2 y$
    2. $a^{3}+a^{2}-2 a b+4 b^{2}+8 b^{3}$
    3. $x^{2}+8 x-y^{2}-6 y+7$.
    1. Вычислите наиболее удобным способом: $\left(\frac{39^{3}-11^{3}}{28}+11 \cdot 39\right):\left(9,5^{2}-10,5^{2}\right)$.
    2. Докажите, что $\left(8^{5}+2^{11}\right)$ делится на $17 .$
    1. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки $A(-2 ; 4)$ и $B(1 ;-8)$ и постройте график этой функции.
    2. Найдите уравнение прямой $m$, параллельной прямой $\mathrm{AB}$ и проходящей через точку $\mathrm{C}(1 ; 4)$;
    3. Найдите координаты точки пересечения прямой $m$ и прямой, заданной уравнением $2 x+4 y+3=0$.
  5. От станции к посёлку, удаленному на 104 км, отправились одновременно мотоциклист и автомобилист. Скорость автомобиля на 30 км/ч больше скорости мотоцикла. Прибыв в посёлок, автомобиль сразу повернул обратно и встретил мотоциклиста через 1 ч 36 мин после его выезда со станции. На каком расстоянии от станции произошла встреча?
  6. Из данных четырех чисел первые три относятся между собой как $\frac{1}{5}: \frac{1}{3}: \frac{1}{20}$, а четвертое составляет $15 \%$ второго. Найдите эти числа, если известно, что второе число на 8 больше суммы остальных.
    1. Решите уравнение: $\left(x^{2}+5 x+6\right)^{2}+|3-| x||=0$.
    2. Найдите значение выражения $8 x^{3}-y^{3}$, если известно, что $2 x-y=6$ и $2 x y=5$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение:
    1. $\frac{x-2}{5}-\frac{5-2 x}{4}=4-x-\frac{4 x-1}{20}$
      Решение:
      Умножим все члены уравнения на 20:
      $4(x-2) -5(5-2x) = 80 -20x - (4x-1)$
      $4x -8 -25 +10x = 80 -20x -4x +1$
      $14x -33 = 81 -24x$
      $38x = 114 \quad \Rightarrow \quad x = 3$
      Ответ: 3.

    2. $x(2-x)(x+2)=12-(x+2)\left(4-2 x+x^{2}\right)$
      Решение:
      Упростим левую и правую части:
      $x(4 -x^2) = 12 - (x+2)(x^2 -2x +4)$
      $4x -x^3 = 12 - (x^3 +8)$
      $4x -x^3 = 4 -x^3$
      $4x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 1$
      Ответ: 1.

    3. $4 x-4=(x-1)^{2}$
      Решение:
      $4x -4 = x^2 -2x +1$
      $x^2 -6x +5 = 0$
      $D = 36 -20 = 16$
      $x = \frac{6 \pm 4}{2} \quad \Rightarrow \quad x = 5$ или $x = 1$
      Ответ: 1; 5.


  2. Разложите на неразложимые множители:
    1. $25 x^{2}+10 x y+y^{2}-10 x-2 y$
      Решение:
      $(5x + y)^2 -2(5x + y) = (5x + y)(5x + y -2)$
      Ответ: $(5x + y)(5x + y -2)$.

    2. $a^{3}+a^{2}-2 a b+4 b^{2}+8 b^{3}$
      Решение:
      $(a^3 +8b^3) + (a^2 -2ab +4b^2) = (a +2b)(a^2 -2ab +4b^2) + (a^2 -2ab +4b^2) = (a^2 -2ab +4b^2)(a +2b +1)$
      Ответ: $(a^2 -2ab +4b^2)(a +2b +1)$.

    3. $x^{2}+8 x-y^{2}-6 y+7$
      Решение:
      $(x+4)^2 - (y+3)^2 = (x - y +1)(x + y +7)$
      Ответ: $(x - y +1)(x + y +7)$.


    1. Вычислите наиболее удобным способом: $\left(\frac{39^{3}-11^{3}}{28}+11 \cdot 39\right):\left(9,5^{2}-10,5^{2}\right)$
      Решение:
      Числитель: $\frac{(39-11)(39^2 +39 \cdot 11 +11^2)}{28} +429 = 2071 +429 =2500$
      Знаменатель: $(9,5 -10,5)(9,5 +10,5) = -20$
      Результат: $\frac{2500}{-20} = -125$
      Ответ: $-125$.

    2. Докажите, что $\left(8^{5}+2^{11}\right)$ делится на $17$
      Решение:
      $8^5 =2^{15}$, тогда $2^{15} +2^{11} =2^{11}(2^4 +1) =2^{11} \cdot17$
      Ответ: Доказано.


    1. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки $A(-2 ; 4)$ и $B(1 ;-8)$
      Решение:
      Угловой коэффициент: $k = \frac{-8 -4}{1 +2} = -4$
      Уравнение: $y = -4x -4$
      Ответ: $y = -4x -4$.

    2. Найдите уравнение прямой $m$, параллельной прямой $\mathrm{AB}$ и проходящей через точку $\mathrm{C}(1 ; 4)$
      Решение:
      Уравнение: $y = -4x +8$
      Ответ: $y = -4x +8$.

    3. Найдите координаты точки пересечения прямой $m$ и прямой, заданной уравнением $2 x+4 y+3=0$
      Решение:
      Подстановка $y = -4x +8$ в уравнение:
      $2x +4(-4x +8) +3 =0 \quad \Rightarrow \quad x =2,5; \quad y = -2$
      Ответ: $(2,5; -2)$.


  5. На каком расстоянии от станции произошла встреча?
    Решение:
    Пусть скорость мотоцикла $v$, тогда автомобиля $v +30$. Время до встречи: $1,6$ ч.
    Уравнение: $1,6v +1,6(v +30) -104 =104 \quad \Rightarrow \quad v =50$ км/ч
    Расстояние: $1,6 \cdot50 =80$ км
    Ответ: 80 км.

  6. Найдите четыре числа:
    Решение:
    Отношение первых трёх: $12k :20k :3k$. Четвёртое число: $3k$.
    Условие: $20k - (12k +3k +3k) =8 \quad \Rightarrow \quad k =4$
    Числа: $48; 80; 12; 12$
    Ответ: 48; 80; 12; 12.

    1. Решите уравнение: $\left(x^{2}+5 x+6\right)^{2}+|3-| x||=0$
      Решение:
      $x^2 +5x +6 =0 \quad \Rightarrow \quad x =-2; -3$
      $|3 -|x|| =0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm3$
      Общее решение: $x =-3$
      Ответ: $-3$.

    2. Найдите значение выражения $8 x^{3}-y^{3}$
      Решение:
      Используем тождество: $8x^3 -y^3 = (2x -y)(4x^2 +2xy +y^2)$
      Из условий: $2x -y =6$, $4x^2 +2xy +y^2 =51$
      Результат: $6 \cdot51 =306$
      Ответ: 306.
Материалы школы Юайти