8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1511 из 7 в 8 класс 2017 год

Сложность:
Дата экзамена: 2017
Сложность:
Дата экзамена: 2017
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1511


2017 год




  1. Решите уравнение:
    1. $(2 x+3)^{2}=8 x+12$;
    2. $(x-2)^{3}-x(1-2 x)^{2}+(3 x+1)\left(9 x^{2}-3 x+1\right)+2 x^{2}=24 x^{3}$;
    3. $\left(\frac{2 x-3}{2}+\frac{3 x+3}{4}\right)^{2}=\left(3-\frac{x+5}{3}\right)^{2}$.
  2. Разложите на неразложимые множители:
    1. $a^{3}+a^{2} x-3 a x+9 x+27$;
    2. $4 x^{2}-6 x-9 y^{2}+9 y$
    3. $y^{4}-25 y^{2}+60 y-36$
  3. Даны точки $\mathrm{A}(3 ;-2), \mathrm{B}(-2 ; 8), \mathrm{C}(0 ; 1)$.
    1. Найдите уравнение прямой $A B$.
    2. Найдите уравнение прямой $m$, параллельной $\mathrm{AB}$ и проходящей через точку $\mathrm{C}$. Постройте прямые $m$ и $\mathrm{AB}$.
    3. При каком значении $a$ прямая, заданная уравнением $a x-2 y+7-2 a=0$, пересекается с прямой $A B$ в точке, абсцисса которой вдвое меньше ординаты?
    1. Определите $x$ из пропорции, производя вычисления наиболее удобным способом:
      $\left(\frac{97^{3}-53^{3}}{44}+97 \cdot 53\right):\left(152,5^{2}-27,5^{2}\right)=x:\left(19,25^{2}-18,25 \cdot 20,25\right) .$
    2. Вычислите расстояние между точками $\mathrm{A}(a)$ и $\mathrm{B}(b)$ на координатной прямой, если $a=\frac{-14^{2} \cdot 25^{3}}{49 \cdot(-10)^{6}} ; \quad b=\frac{7^{40}+7^{38}-2 \cdot 7^{39}}{6^{2} \cdot 49^{19}} .$
  5. Саша проходит путь от дома до школы за 20 минут, а его младший брат Витя - за 30 минут. Через. сколько минут Саша догонит Витю, если Витя вышел из дома на 5 минут раньше Саши?
  6. Докажите, что при любом натуральном $\mathrm{n}:\left(3^{n+2}-2^{n+2}+3^{n}-2^{n}\right)$ делится на $10 .$
    1. Решите уравнение: $|3 x+y|+(5-|2 y+1|)^{1514}=0$.
    2. Докажите, что выражение $x^{2}-2 x+2 y^{2}-8 y+12$ принимает положительные значения при любых $x, y$. Найдите наименьшее значение этого выражения и укажите $x, y$, при которых оно достигается.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. Решите уравнение: $(2 x+3)^{2}=8 x+12$
      Решение:
      $(2x + 3)^2 = 8x + 12$
      $4x^2 + 12x + 9 = 8x + 12$
      $4x^2 + 4x - 3 = 0$
      Дискриминант $D = 16 + 48 = 64$
      $x = \frac{-4 \pm 8}{8}$
      $x_1 = 0.5$, $x_2 = -1.5$
      Ответ: $-1{,}5$; $0{,}5$.
    2. Решите уравнение: $(x-2)^{3}-x(1-2x)^{2}+(3x+1)(9x^{2}-3x+1)+2x^{2}=24x^{3}$
      Решение:
      Разложим и упростим левую часть:
      $(x-2)^3 - x(1 - 2x)^2 + (3x +1)(9x^2 -3x +1) +2x^2$
      $= x^3 -6x^2 +12x -8 -x(1 -4x +4x^2) +27x^3 +1 +2x^2$
      $= 24x^3 +11x -7$
      Приравниваем к правой части: $24x^3 +11x -7 = 24x^3$
      $11x = 7$ ⇒ $x = \frac{7}{11}$
      Ответ: $\frac{7}{11}$.
    3. Решите уравнение: $\left(\frac{2x-3}{2} + \frac{3x+3}{4}\right)^2 = \left(3 - \frac{x+5}{3}\right)^2$
      Решение:
      Упростим обе части:
      Левая часть: $\left(\frac{7x -3}{4}\right)^2$
      Правая часть: $\left(\frac{4 -x}{3}\right)^2$
      Приравниваем и решаем:
      $\frac{(7x -3)^2}{16} = \frac{(4 -x)^2}{9}$
      $9(7x -3)^2 = 16(4 -x)^2$
      $441x^2 -378x +81 = 256 -128x +16x^2$
      $425x^2 -250x -175 = 0$
      $17x^2 -10x -7 = 0$
      Решения: $x = 1$, $x = -\frac{7}{17}$
      Ответ: $1$; $-\frac{7}{17}$.
    1. Разложите на множители: $a^{3} + a^{2}x -3ax +9x +27$
      Решение:
      Группировка: $(a^3 +27) +x(a^2 -3a +9)$
      Используя сумму кубов:
      $(a + 3)(a^2 -3a +9) +x(a^2 -3a +9) = (a^2 -3a +9)(a +x +3)$
      Ответ: $(a^2 -3a +9)(a +x +3)$.
    2. Разложите на множители: $4x^{2} -6x -9y^{2} +9y$
      Решение:
      Представим как разность квадратов:
      $4x^2 -6x = (2x)^2 -6x$
      $-9y^2 +9y = -(9y^2 -9y) = -(3y)^2 +9y$
      Факторизация: $(2x -3y)(2x +3y -3)$
      Ответ: $(2x -3y)(2x +3y -3)$.
    3. Разложите на множители: $y^{4} -25y^{2} +60y -36$
      Решение:
      Факторизация как произведение квадратов:
      $(y^2 -4y +3)(y^2 +4y -12)$
      Дальнейшая факторизация: $(y -1)(y -3)(y -2)(y +6)$
      Ответ: $(y -1)(y -2)(y -3)(y +6)$.
  3. Даны точки $A(3;-2)$, $B(-2;8)$, $C(0;1)$:
    1. Найдите уравнение прямой $AB$:
      Решение:
      Угловой коэффициент: $m = \frac{8 - (-2)}{-2 -3} = -2$
      Уравнение: $y = -2x +4$
      Ответ: $y = -2x +4$.
    2. Найдите уравнение прямой $m$:
      Решение: Параллельная прямая через $C(0;1)$:
      $y = -2x +1$
      Ответ: $y = -2x +1$.
    3. При каком $a$ прямая $ax -2y +7 -2a =0$ пересекает $AB$ в точке с $x = \frac{y}{2}$:
      Решение: Точка пересечения $(1;2)$ подставим в уравнение:
      $a \cdot1 -2\cdot2 +7 -2a =0$ ⇒ $a =3$
      Ответ: $3$.
    1. Определите $x$ из пропорции:
      Решение:
      Левую часть упрощаем до $1$, правую часть вычисляем как $1$ ⇒ $x =1$.
      Ответ: $1$.
    2. Вычислите расстояние между точками:
      Решение:
      $a = -\frac{1}{16}$, $b =1$ ⇒ расстояние $|1 -(-\frac{1}{16})| = \frac{17}{16}$
      Ответ: $\frac{17}{16}$.
  5. Саша догонит Витю через:
    Решение:
    Путь Саши: $\frac{S}{20} \cdot t$, путь Вити: $\frac{S}{30} \cdot (t +5)$ ⇒ $t =10$ мин.
    Ответ: $10$ минут.
  6. Доказательство делимости:
    Решение:
    $3^{n+2} -2^{n+2} +3^n -2^n =10 \cdot3^n -5 \cdot2^n =5(2 \cdot3^n -2^n)$.
    Так как $2 \cdot3^n -2^n$ четное, выражение кратно $10$.
    Ответ: Доказано.
    1. Решение уравнения $|3x + y| + (5 -|2y +1|)^{1514}=0$:
      Только при $|3x + y|=0$ и $5 -|2y +1|=0$ ⇒ Решения $(x = -\frac{2}{3}; y =2)$, $(x=1; y = -3)$.
      Ответ: $(-\frac{2}{3};2)$, $(1;-3)$.
    2. Доказательство положительности выражения $x^2 -2x +2y^2 -8y +12$:
      Преобразуем: $(x-1)^2 +2(y-2)^2 +3 \geq3$. Наименьшее значение $3$ при $x=1$, $y=2$.
      Ответ: Наименьшее значение $3$ при $(1;2)$.
Материалы школы Юайти