Лицей №1511 из 7 в 8 класс 2017 год

ЛИЦЕЙ №1511

2017 год

1. Докажите, что:
   1. в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны;
   2. если в треугольнике медиана является его биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
2. $\mathrm{CD}$ - медиана треугольника $\mathrm{ABC}, \mathrm{AD}=\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$. Докажите, что:
   1. треугольник $\mathrm{ABC}$ - прямоугольный;
   2. $\mathrm{DE} \| \mathrm{BC}$, где $\mathrm{E}$ - середина отрезка $\mathrm{AC}$.
3. В треугольнике $\mathrm{KLM} \angle \mathrm{K}=70^{\circ}, \angle \mathrm{L}=80^{\circ}, \mathrm{LE}-$ его биссектриса. $\mathrm{ME}=6 \mathrm{~cm} .$
   1. докажите, что треугольник KLE - равнобедренный;
   2. докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине $L$ треугольника KLE параллельна прямой КМ;
   3. найдите расстояние от точки $\mathrm{E}$ до прямой $\mathrm{LM}$.
4. Дан треугольник $\mathrm{ABC}$. BD и CE - его биссектрисы. I - точка их пересечения. Найдите:
   1. $\angle \mathrm{BIC}$, если $\angle \mathrm{BAC}=108^{\circ}$;
   2. все углы треугольника $A B C$, если известно, что $B C=16 \mathrm{~cm}, A C=8 \mathrm{~cm}, a \angle B I C=135^{\circ} .$
5. В треугольнике $A B C$ угол $B$ равен $100^{\circ}$. На луче $C A$ отмечена точка $M$ так, что $M A=A B$, и точка $\mathrm{A}$ находится между точками $\mathrm{M}$ и $\mathrm{C}$. На луче $\mathrm{AC}$ отмечена точка $\mathrm{N}$ так, что $\mathrm{CN}=\mathrm{BC}$, и точка С находится между точками А и N. Найдите градусную меру угла MBN.