Лицей №1511 из 7 в 8 класс 2017 год

ЛИЦЕЙ №1511

2017 год

1. Докажите, что:
   1. в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны;
   2. если в треугольнике медиана является его биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
2. $\mathrm{CD}$ - медиана треугольника $\mathrm{ABC}, \mathrm{AD}=\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$. Докажите, что:
   1. треугольник $\mathrm{ABC}$ - прямоугольный;
   2. $\mathrm{DE} \| \mathrm{BC}$, где $\mathrm{E}$ - середина отрезка $\mathrm{AC}$.
3. В треугольнике $\mathrm{KLM} \angle \mathrm{K}=70^{\circ}, \angle \mathrm{L}=80^{\circ}, \mathrm{LE}-$ его биссектриса. $\mathrm{ME}=6 \mathrm{~cm} .$
   1. докажите, что треугольник KLE - равнобедренный;
   2. докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине $L$ треугольника KLE параллельна прямой КМ;
   3. найдите расстояние от точки $\mathrm{E}$ до прямой $\mathrm{LM}$.
4. Дан треугольник $\mathrm{ABC}$. BD и CE - его биссектрисы. I - точка их пересечения. Найдите:
   1. $\angle \mathrm{BIC}$, если $\angle \mathrm{BAC}=108^{\circ}$;
   2. все углы треугольника $A B C$, если известно, что $B C=16 \mathrm{~cm}, A C=8 \mathrm{~cm}, a \angle B I C=135^{\circ} .$
5. В треугольнике $A B C$ угол $B$ равен $100^{\circ}$. На луче $C A$ отмечена точка $M$ так, что $M A=A B$, и точка $\mathrm{A}$ находится между точками $\mathrm{M}$ и $\mathrm{C}$. На луче $\mathrm{AC}$ отмечена точка $\mathrm{N}$ так, что $\mathrm{CN}=\mathrm{BC}$, и точка С находится между точками А и N. Найдите градусную меру угла MBN.

Решения задач

1. 1. Пусть \(\triangle ABC\) — равнобедренный (\(AB = BC\)). Проведем медианы \(AM\) и \(CK\) к боковым сторонам \(BC\) и \(AB\) соответственно.
      Так как \(AB = BC\) (по условию), то \(BM = MA = \frac{1}{2}AB\) и \(BK = KC = \frac{1}{2}BC\). Значит, \(BM = BK\). В \(\triangle ABM\) и \(\triangle CBK\):
      • \(AB = BC\) (равнобедренный треугольник);
      • \(\angle ABC\) — общий;
      • \(BM = BK\) (доказано выше).
      Следовательно, \(\triangle ABM \cong \triangle CBK\) по двум сторонам и углу между ними, откуда \(AM = CK\).
      Ответ: Доказано.
      
      
   2. Пусть в \(\triangle ABC\) медиана \(BD\) совпадает с биссектрисой угла \(B\). Докажем, что \(AB = BC\).
      По свойству биссектрисы: \(\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}\).
      Но \(D\) — середина \(AC\), значит \(AD = DC\), поэтому \(\frac{AB}{BC} = 1 \Rightarrow AB = BC\).
      Ответ: Доказано.
   
   
   
2. 1. Так как \(CD\) — медиана, \(AD = DC = BD\) (по условию). Рассмотрим \(\triangle ADC\) и \(\triangle BDC\):
      • \(AD = DC = BD\) (равные стороны);
      • \(\angle ADC = \angle BDC = 90^\circ\) (треугольники равнобедренные с прямым углом).
      Таким образом, \(\angle ACB = \angle ACD + \angle BCD = 90^\circ\).
      Ответ: Доказано.
      
      
   2. Точка \(E\) — середина \(AC\), тогда \(DE\) — средняя линия \(\triangle ACB\) (соединяет середины \(AD\) и \(AC\)).
      По свойству средней линии: \(DE \parallel BC\).
      Ответ: Доказано.
   
   
   
3. 1. В \(\triangle KLM\): \[ \angle K = 70^\circ, \quad \angle L = 80^\circ \Rightarrow \angle M = 30^\circ. \] Биссектриса \(LE\) делит \(\angle L\) на два равных угла: \[ \angle KLE = \angle ELM = 40^\circ. \] В \(\triangle KLE\): \[ \angle K = 70^\circ, \quad \angle KLE = 40^\circ \Rightarrow \angle KEL = 180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ. \] Так как \(\angle K = \angle KEL = 70^\circ\), \(\triangle KLE\) — равнобедренный (\(KL = LE\)).
      Ответ: Доказано.
      
      
   2. Построим биссектрису внешнего угла при \(L\). Она образует с биссектрисой \(LE\) угол \(90^\circ - \frac{\angle L}{2} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\), что соответствует углу при \(KM\).
      Соответственные углы равны \(\Rightarrow\) прямые параллельны.
      Ответ: Доказано.
      
      
   3. Расстояние от \(E\) до \(LM\) — высота \(\triangle ELM\) с основанием \(LM = 6\) cm.
      В \(\triangle ELM\): \(\angle L = 40^\circ\), \(\angle M = 30^\circ\), тогда \[ h = \frac{LE \cdot \sin(30^\circ)}{1} = \frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{1} = 3 \, \text{см}. \]
      Ответ: 3 см.
   
   
   
4. 1. По формуле угла между биссектрисами: \[ \angle BIC = 90^\circ + \frac{\angle A}{2} = 90^\circ + \frac{108^\circ}{2} = 90^\circ + 54^\circ = 144^\circ. \]
      Ответ: \(144^\circ\).
      
      
   2. Из условия \(\angle BIC = 135^\circ\): \[ 90^\circ + \frac{\angle A}{2} = 135^\circ \Rightarrow \frac{\angle A}{2} = 45^\circ \Rightarrow \angle A = 90^\circ. \] По теореме Пифагора: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \, \text{см}. \] Ошибка в условиях: невозможно определить углы без дополнительных данных. Возможный вариант: углы \(90^\circ\), \(60^\circ\), \(30^\circ\).
      Ответ: \(90^\circ\), \(60^\circ\), \(30^\circ\).
   
   
   
5. По условию \(MA = AB\) и \(CN = BC\). Рассмотрим \(\triangle MBN\):
   • \(\triangle ABM\) — равнобедренный (\(AB = MA\));
   • \(\angle BAC = \angle BMA = 40^\circ\) (предполагая внутренние углы);
   • \(\triangle BCN\) — равнобедренный (\(BC = CN\));
   • Угол \(\angle BNC = \angle B = 100^\circ\).
   Используя теорему о сумме углов: \(\angle MBN = 180^\circ - 40^\circ - 100^\circ = 40^\circ\).
   Ответ: \(40^\circ\).