8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1511 из 7 в 8 класс 2017 год

Сложность:
Дата экзамена: 2017
Сложность:
Дата экзамена: 2017
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1511


2017 год




  1. Решите уравнение:
    1. $\frac{x}{4}+\frac{2 x-1}{9}-2=\frac{x-9}{6}$;
    2. $36(x-1)^{2}+12(x-1)+1=0$
  2. Разложите на неразложимые множители:
    1. $4 a b-b^{3}-8 a^{2}+2 a b^{2}$;
    2. $a^{3}+a^{2}+4 a b+16 b^{2}-64 b^{3}$;
    3. $4 a^{2}-9+12 c-4 c^{2}$
  3. Вычислите наиболее удобным способом: $\frac{\left(93^{2}-53^{2}\right)\left(40^{2}+93 \cdot 53\right)}{93^{3}+53^{3}}$.
    1. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки $\mathrm{A}(4 ;-2)$ и $\mathrm{B}(-8 ; 1)$ и постройте график этой функции.
    2. Найдите уравнение прямой р, параллельной прямой $\mathrm{AB}$ и проходящей через точку С $(4 ; 1)$;
    3. Найдите координаты точки пересечения прямой р и прямой, заданной уравнением $4 x+2 y+3=0$.
  5. Катер за 3 часа по течению и 5 часов против течения проходит 76 км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 6 часов по течению катер проходит столько же, сколько за 9 часов против течения.
  6. Найдите наименьшее значение выражения $3 x^{2}-12 x+15$ и при каком $x$ оно достигается.
  7. B треугольнике $A B C \angle A=70^{\circ}, \angle B=80^{\circ}, B E-$ его биссектриса. $C E=6 \mathrm{~cm}$.
    1. Докажите, что треугольник $\mathrm{ABE}-$ равнобедренный;
    2. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника ABE параллельна прямой $\mathrm{AC}$;
    3. Найдите расстояние от точки $\mathrm{E}$ до прямой $\mathrm{BC}$;
    4. Найдите расстояние от точки $\mathrm{E}$ до прямой $\mathrm{AB}$.


Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение:
    1. $\frac{x}{4}+\frac{2x-1}{9}-2=\frac{x-9}{6}$
      Решение:
      Умножим обе части уравнения на 36:
      $9x + 4(2x - 1) - 72 = 6(x - 9)$
      $9x + 8x - 4 - 72 = 6x - 54$
      $17x - 76 = 6x - 54$
      $11x = 22 \quad \Rightarrow \quad x = 2$
      Ответ: $2$.
    2. $36(x-1)^{2} + 12(x-1) + 1 = 0$
      Решение:
      Пусть $y = x - 1$. Тогда уравнение примет вид:
      $36y^{2} + 12y + 1 = 0$
      Дискриминант: $D = 144 - 144 = 0$, один корень: $y = -\frac{12}{72} = -\frac{1}{6}$
      Возвращаясь к переменной $x$:
      $x - 1 = -\frac{1}{6} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{6}$
      Ответ: $\frac{5}{6}$.
  2. Разложите на неразложимые множители:
    1. $4ab - b^{3} - 8a^{2} + 2ab^{2}$
      Решение:
      Группируем слагаемые:
      $(4ab + 2ab^{2}) - (8a^{2} + b^{3}) = 2ab(2 + b) - (8a^{2} + b^{3})$
      Дополнительная группировка:
      $- (8a^{2} - 2ab(2 + b) + b^{3}) = - (2a - b^{2})(4a - b)$
      Ответ: $(2a - b)(b^{2} - 4a)$.
    2. $a^{3} + a^{2} + 4ab + 16b^{2} - 64b^{3}$
      Решение:
      Разложим сумму кубов:
      $(a^{3} - 64b^{3}) + (a^{2} + 4ab + 16b^{2}) = (a - 4b)(a^{2} + 4ab + 16b^{2}) + (a^{2} + 4ab + 16b^{2})$
      Ответ: $(a - 4b + 1)(a^{2} + 4ab + 16b^{2})$.
    3. $4a^{2} - 9 + 12c - 4c^{2}$
      Решение:
      Перепишем выражение:
      $4a^{2} - (4c^{2} - 12c + 9) = (2a)^{2} - (2c - 3)^{2}$
      Разность квадратов:
      Ответ: $(2a - 2c + 3)(2a + 2c - 3)$.
  3. Вычислите наиболее удобным способом: $\frac{(93^{2} - 53^{2})(40^{2} + 93 \cdot 53)}{93^{3} + 53^{3}}$
    Решение:
    Воспользуемся формулами разности квадратов и суммы кубов:
    Числитель: $(93 - 53)(93 + 53)(40^{2} + 93 \cdot 53) = 40 \cdot 146 \cdot (40^{2} + 93 \cdot 53)$
    Знаменатель: $93^{3} + 53^{3} = (93 + 53)(93^{2} - 93 \cdot 53 + 53^{2}) = 146 \cdot (93^{2} - 93 \cdot 53 + 53^{2})$
    Сокращаем общие множители и получаем:
    $\frac{40 \cdot 146 \cdot (40^{2} + 93 \cdot 53)}{146 \cdot (93^{2} - 93 \cdot 53 + 53^{2})} = \frac{40 \cdot (40^{2} + 93 \cdot 53)}{93^{2} - 93 \cdot 53 + 53^{2}} = 40$
    Ответ: $40$.
    1. Найти уравнение прямой через точки $A(4, -2)$ и $B(-8, 1)$
      Решение:
      Найдем угловой коэффициент: $k = \frac{1 - (-2)}{-8 - 4} = -\frac{1}{4}$
      Уравнение прямой: $y = -\frac{1}{4}x - 1$
      Ответ: $y = -\frac{1}{4}x - 1$.
    2. Уравнение прямой $p$, параллельной $AB$ и проходящей через $C(4, 1)$
      Решение:
      Т.к. $p \parallel AB$, то угловой коэффициент $- \frac{1}{4}$:
      $y - 1 = -\frac{1}{4}(x - 4) \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{4}x + 2$
      Ответ: $y = -\frac{1}{4}x + 2$.
    3. Точка пересечения прямой $p$ и $4x + 2y + 3 = 0$
      Решение:
      Подставим уравнение прямой $p$ в уравнение:
      $4x + 2(-\frac{1}{4}x + 2) + 3 = 0$
      $4x - \frac{1}{2}x + 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2$
      Тогда $y = -\frac{1}{4}(-2) + 2 = \frac{5}{2}$
      Ответ: $(-2, \frac{5}{2})$.
  5. Катер:
    Решение:
    Пусть $x$ — собственная скорость катера, $y$ — скорость течения:
    $\begin{cases} 3(x + y) + 5(x - y) = 76 \\ 6(x + y) = 9(x - y) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 8x - 2y = 76 \\ x = 5y \end{cases}$
    Решая систему:
    $y = 2$ (км/ч), $x = 10$ (км/ч)
    Ответ: скорость течения 2 км/ч, собственная скорость 10 км/ч.
  6. Наименьшее значение $3x^2 - 12x + 15$
    Решение:
    Выделим полный квадрат:
    $3(x^2 - 4x) + 15 = 3(x - 2)^2 + 3$
    Минимум при $x = 2$, значение 3
    Ответ: $3$.
    1. Треугольник $\triangle ABE$ равнобедренный: $\angle BAE = \angle BEA = 70^\circ$.
    2. Биссектриса угла параллельна $AC$, т.к. их соответственные углы равны $70^\circ$.
    3. Расстояние от $E$ до $BC$: $h = CE \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.
    4. Расстояние от $E$ до $AB$ равно высоте $\triangle ABE$, что также равно 3 см (аналогично).
Материалы школы Юайти