Лицей №1511 из 7 в 8 класс 2017 год

ЛИЦЕЙ №1511

2017 год

1. Решите задачи:
   1. Булочка стоит 8 рублей 50 копеек. Какое наибольшее количество булочек можно купить на 50 рублей?
   2. Больному прописан курс лекарства, которое нужно принимать по 0,5 г 3 раза в день в течение 14 дней. Упаковка содержит 8 таблеток по 0,5 г. Какое наименьшее количество упаковок требуется купить на весь курс лечения?
2. Найдите значение выражения:
   1. $-6-3:(-1,5)-2 \times \frac{1}{3}$
   2. $\left(5^{3}\right)^{14}: 5^{40}$
   3. $4 \frac{5}{12}+1 \frac{1}{12}:\left(6 \frac{5}{8}-3 \frac{11}{12}\right) \cdot 4 \frac{1}{6}$
3. Решите уравнения:
   1. $x(x-3,2)=3,2(0,2-x)$
   2. $\frac{6 x-1}{5}-\frac{2-x}{4}=\frac{3 x+2}{2}$
   3. $x^{3}-4 x^{2}=0$
   4. $29 \mathrm{x}-(9 \mathrm{x}+4)=4(5 \mathrm{x}-1)$
4. Разложите на множители
   1. $8 x^{2}-8 y^{2}$
   2. $7 \mathrm{a}^{2}-14 \mathrm{ab}+7 \mathrm{~b}^{2}$
5. Упростите выражение:
   $-\frac{4}{7} \mathrm{a} \cdot\left(2,1 \mathrm{a}^{3}-0,7 \mathrm{ab}+\frac{1}{4} \mathrm{~s}^{2}\right)+\frac{2}{3} \mathrm{a}^{3} \cdot 1,8 \mathrm{a}$
   
6. Решите задачу:
   В квартире имеется три комнаты, общая площадь которых 51 м $^{2} .$ Площадь первой комнаты вдвое меньше площади второй и на 3 м $^{2}$ меньше площади третьей комнаты. Чему равна площадь каждой комнаты? (3 балла)

Решения задач

1. 1. Булочка стоит 8 рублей 50 копеек. Какое наибольшее количество булочек можно купить на 50 рублей?
      Решение: Переведём в копейки: 8,50 руб = 850 коп., 50 руб = 5000 коп.
      $5000 : 850 \approx 5,88$. Целая часть — 5.
      Проверка: $5 \cdot 850 = 4250$ коп. = 42,5 руб. Остаток: $50 - 42,5 = 7,5$ руб. < 8,5 руб.
      Ответ: 5.
      
      
   2. Больному прописан курс лекарства, которое нужно принимать по 0,5 г 3 раза в день в течение 14 дней. Какое наименьшее количество упаковок требуется купить, если в упаковке 8 таблеток по 0,5 г?
      Решение: Всего таблеток: $3 \cdot 14 = 42$.
      Упаковок: $\frac{42}{8} = 5,25$. Округляем вверх до 6.
      Ответ: 6.
2. 1. Найдите значение выражения: $-6 - 3 : (-1,5) - 2 \times \frac{1}{3}$
      Решение:
      $3 : (-1,5) = -2$;
      $2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
      $-6 - (-2) - \frac{2}{3} = -6 + 2 - \frac{2}{3} = -4 - \frac{2}{3} = -\frac{14}{3}$.
      Ответ: $-\frac{14}{3}$ или $-4\frac{2}{3}$.
      
      
   2. Найдите значение выражения: $\left(5^{3}\right)^{14} : 5^{40}$
      Решение:
      $\left(5^{3}\right)^{14} = 5^{3 \cdot 14} = 5^{42}$;
      $5^{42} : 5^{40} = 5^{2} = 25$.
      Ответ: 25.
      
      
   3. Найдите значение выражения: $4 \frac{5}{12} + 1 \frac{1}{12} : \left(6 \frac{5}{8} - 3 \frac{11}{12}\right) \cdot 4 \frac{1}{6}$
      Решение:
      Переведём смешанные дроби в неправильные:
      $4\frac{5}{12} = \frac{53}{12}$; $1\frac{1}{12} = \frac{13}{12}$; $6\frac{5}{8} = \frac{53}{8}$; $3\frac{11}{12} = \frac{47}{12}$; $4\frac{1}{6} = \frac{25}{6}$.
      Вычислим разность в скобках:
      $\frac{53}{8} - \frac{47}{12} = \frac{159}{24} - \frac{94}{24} = \frac{65}{24}$.
      Разделим: $\frac{13}{12} : \frac{65}{24} = \frac{13}{12} \cdot \frac{24}{65} = \frac{2}{5}$.
      Умножим на $\frac{25}{6}$: $\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{6} = \frac{5}{3}$.
      Прибавим к $\frac{53}{12}$: $\frac{53}{12} + \frac{5}{3} = \frac{53}{12} + \frac{20}{12} = \frac{73}{12} = 6\frac{1}{12}$.
      Ответ: $6\frac{1}{12}$.
3. 1. Решите уравнение: $x(x - 3,2) = 3,2(0,2 - x)$
      Решение:
      Раскроем скобки: $x^2 - 3,2x = 0,64 - 3,2x$.
      Перенесем все слагаемые влево: $x^2 - 0,64 = 0$.
      $x = \pm \sqrt{0,64}$.
      Ответ: $x = 0,8$; $x = -0,8$.
      
      
   2. Решите уравнение: $\frac{6x - 1}{5} - \frac{2 - x}{4} = \frac{3x + 2}{2}$
      Решение: Умножим обе части на 20:
      $4(6x - 1) - 5(2 - x) = 10(3x + 2)$.
      Раскроем скобки: $24x - 4 - 10 + 5x = 30x + 20$.
      $29x - 14 = 30x + 20$.
      Ответ: $x = -34$.
      
      
   3. Решите уравнение: $x^{3} - 4x^{2} = 0$
      Решение: Вынесем общий множитель:
      $x^2(x - 4) = 0$.
      Ответ: $x = 0$; $x = 4$.
      
      
   4. Решите уравнение: $29x - (9x + 4) = 4(5x - 1)$
      Решение: Раскроем скобки:
      $29x - 9x - 4 = 20x - 4$.
      $20x - 4 = 20x - 4$ — верно для любого $x$.
      Ответ: $x$ — любое действительное число.
4. 1. Разложите на множители: $8x^2 - 8y^2$
      Решение: Вынесем общий множитель:
      $8(x^2 - y^2) = 8(x - y)(x + y)$.
      Ответ: $8(x - y)(x + y)$.
      
      
   2. Разложите на множители: $7a^2 - 14aB + 7B^2$
      Решение: Вынесем общий множитель:
      $7(a^2 - 2aB + B^2) = 7(a - B)^2$.
      Ответ: $7(a - B)^2$.
5. Упростите выражение:
   $-\frac{4}{7}a \cdot \left(2,1a^3 - 0,7aB + \frac{1}{4}s^2\right) + \frac{2}{3}a^3 \cdot 1,8a$
   
   
   Решение: Распределим умножение:
   $-\frac{4}{7}a \cdot 2,1a^3 = -1,2a^4$;
   $-\frac{4}{7}a \cdot (-0,7aB) = 0,4a^2B$;
   $-\frac{4}{7}a \cdot \frac{1}{4}s^2 = -\frac{1}{7}as^2$;
   $\frac{2}{3}a^3 \cdot 1,8a = 1,2a^4$.
   Суммируем: $-1,2a^4 + 1,2a^4 + 0,4a^2B - \frac{1}{7}as^2$.
   Ответ: $0,4a^2B - \frac{1}{7}as^2$.
6. Решите задачу: В квартире три комнаты общей площадью 51 м². Площадь первой комнаты вдвое меньше второй и на 3 м² меньше третьей. Найдите площади комнат.
   Решение: Пусть площадь первой комнаты $x$ м², тогда:
   Вторая: $2x$ м²;
   Третья: $x + 3$ м².
   Уравнение: $x + 2x + x + 3 = 51$.
   $4x + 3 = 51$ ⇒ $4x = 48$ ⇒ $x = 12$.
   Ответ: 12 м², 24 м², 15 м².