Лицей №1511 из 7 в 8 класс 2016 год (вариант 2)

ЛИЦЕЙ №1511 ПРИ МИФИ

2016 год

Вариант 2

1. Упростите выражение: $$ (\sqrt{18}-\sqrt{98})^{2}+(7 \sqrt{3})^{2}+\sqrt{\sqrt{27}-\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\sqrt{27}+\sqrt{2}} $$
2. Решите уравнение: $\left(\frac{2 x}{x+2}\right)^{2}-9=0$
3. При каких значениях $a$ система неравенств $\left\{\begin{array}{c}(x+4)^{2}-x^{2} \leq 16 a \\ 5(x-3) \geq 4 x+7\end{array}\right.$ имеет ровно одно решение?
4. Сумма двух различных натуральных чисел равна 1001 . Найти наибольший, возможный при этих условиях, их общий делитель.
5. Велосипедист проехал из посёлка на станцию, расстояние между которыми равно 30 км,, и через некоторое время вернулся в посёлок. На обратном пути он снизил скорость на 3 км/ч и потому затратил на обратный путь на 20 минут больше. С какой скоростью ехал велосипедист из посёлка на станцию?

Решения задач

1. Упростите выражение:
   $(\sqrt{18}-\sqrt{98})^{2}+(7 \sqrt{3})^{2}+\sqrt{\sqrt{27}-\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\sqrt{27}+\sqrt{2}}$
   Решение:
   Упростим каждое слагаемое по отдельности:
   $(\sqrt{18} - \sqrt{98})^2 = (3\sqrt{2} - 7\sqrt{2})^2 = (-4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$
   $(7\sqrt{3})^2 = 49 \cdot 3 = 147$
   $\sqrt{\sqrt{27} - \sqrt{2}} \cdot \sqrt{\sqrt{27} + \sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{27})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{27 - 2} = \sqrt{25} = 5$
   Суммируем результаты: $32 + 147 + 5 = 184$
   Ответ: 184.
2. Решите уравнение: $\left(\frac{2 x}{x+2}\right)^{2}-9=0$
   Решение:
   $\left(\frac{2x}{x+2}\right)^2 = 9$
   $\frac{2x}{x+2} = 3$ или $\frac{2x}{x+2} = -3$
   Первый случай:
   $2x = 3(x + 2)$
   $2x = 3x + 6 \quad \Rightarrow \quad x = -6$
   Второй случай:
   $2x = -3(x + 2)$
   $2x = -3x - 6 \quad \Rightarrow \quad 5x = -6 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{6}{5} = -1,2$
   Проверка знаменателя: $x + 2 \neq 0$ для обоих корней выполняется.
   Ответ: $-6$; $-1,2$.
3. При каких значениях $a$ система неравенств $\left\{\begin{array}{c}(x+4)^{2}-x^{2} \leq 16 a \\ 5(x-3) \geq 4 x+7\end{array}\right.$ имеет ровно одно решение?
   Решение:
   Упростим неравенства:
   $(x+4)^2 - x^2 = 8x + 16 \leq 16a \quad \Rightarrow \quad 8x \leq 16a - 16 \quad \Rightarrow \quad x \leq 2a - 2$
   $5(x - 3) \geq 4x + 7 \quad \Rightarrow \quad x \geq 22$
   Система имеет решение при $22 \leq x \leq 2a - 2$. Единственное решение будет, если $2a - 2 = 22$:
   $2a = 24 \quad \Rightarrow \quad a = 12$
   Ответ: 12.
4. Сумма двух различных натуральных чисел равна 1001. Найти наибольший возможный их общий делитель.
   Решение:
   Пусть числа $a$ и $b$, $a + b = 1001$, НОД$(a, b) = d$. Тогда $a = d \cdot m$, $b = d \cdot n$, где НОД$(m, n) = 1$. Сумма: $d(m + n) = 1001$.
   Максимальный $d$ достигается при минимальном $m + n$. Минимальная сумма взаимно простых чисел: $m + n = 7$ (так как $1001 = 7 \cdot 143$).
   Тогда $d = \frac{1001}{7} = 143$.
   Ответ: 143.
5. Велосипедист проехал из посёлка на станцию (30 км) и вернулся обратно. На обратном пути скорость снизилась на 3 км/ч, время увеличилось на 20 минут. Найти скорость велосипедиста на пути в станцию.
   Решение:
   Пусть скорость на пути в станцию $x$ км/ч. Тогда время в пути: $\frac{30}{x}$ ч. Обратный путь: скорость $x - 3$ км/ч, время $\frac{30}{x - 3}$ ч. Разница времени:
   $\frac{30}{x - 3} - \frac{30}{x} = \frac{1}{3}$ (20 минут = $\frac{1}{3}$ часа)
   Умножим на $3x(x - 3)$:
   $90x - 90(x - 3) = x(x - 3)$
   $270 = x^2 - 3x \quad \Rightarrow \quad x^2 - 3x - 270 = 0$
   Дискриминант: $D = 9 + 1080 = 1089 = 33^2$
   Корни: $x = \frac{3 \pm 33}{2}$. Положительный корень: $x = 18$ км/ч.
   Ответ: 18.