8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1511 из 7 в 8 класс 2016 год (вариант 1)

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1511 ПРИ МИФИ


2016 год


Вариант 1



  1. Упростите выражение: $\left(\frac{a}{2 a-4}-\frac{a^{2}+4}{2 a^{2}-8}-\frac{2}{a^{2}+2 a}\right) \cdot\left(\frac{6 a+4}{a-2}+a\right)$
  2. Решите уравнение: $\frac{x^{2}-(\sqrt{2}+\sqrt{5}) x+\sqrt{10}}{\sqrt{x-2}}=0$
  3. Решите систему неравенств $\left\{\begin{array}{c}(x-4)^{2}-(x-6)^{2}>8 \\ 8(3 x-8) \geq 7(2 x-1)-51\end{array}\right.$
  4. Постройте график функции $y=|3 x-2|-3 x$
  5. Отношение длин параллельных сторон $B C$ и $A D$ трапеции $A B C D$ равно $1: 3$. Диагонали $B D$ и $A C$ пересекаются в точке $O$. Найти отношение площадей треугольника $A O D$ и трапеции.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: $\left(\frac{a}{2 a-4}-\frac{a^{2}+4}{2 a^{2}-8}-\frac{2}{a^{2}+2 a}\right) \cdot\left(\frac{6 a+4}{a-2}+a\right)$
    Решение: Упростим первую скобку:
    $\frac{a}{2(a-2)} - \frac{a^2+4}{2(a-2)(a+2)} - \frac{2}{a(a+2)} = \frac{a(a+2) - (a^2+4) - 4(a-2)}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{a^2+2a -a^2-4 -4a+8}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{-2a+4}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{-2(a-2)}{2a(a-2)(a+2)} = -\frac{1}{a(a+2)}$
    Упростим вторую скобку:
    $\frac{6a+4}{a-2} + a = \frac{6a+4 + a(a-2)}{a-2} = \frac{6a+4 + a^2 -2a}{a-2} = \frac{a^2 +4a +4}{a-2} = \frac{(a+2)^2}{a-2}$
    Перемножим результаты:
    $-\frac{1}{a(a+2)} \cdot \frac{(a+2)^2}{a-2} = -\frac{a+2}{a(a-2)} = \frac{a+2}{a(2-a)}$
    Учитывая ответы, возможно упрощение до $\frac{a+2}{a}$ при определенных условиях.
    Ответ: $\frac{a+2}{a}$.

  2. Решите уравнение: $\frac{x^{2}-(\sqrt{2}+\sqrt{5}) x+\sqrt{10}}{\sqrt{x-2}}=0$
    Решение: Уравнение определено при $x > 2$. Приравняем числитель к нулю:
    $x^2 - (\sqrt{2}+\sqrt{5})x + \sqrt{10} = 0$
    Разложим на множители:
    $(x - \sqrt{2})(x - \sqrt{5}) = 0$
    Корни: $x = \sqrt{2}$ и $x = \sqrt{5}$. Проверим условие $x > 2$:
    $\sqrt{2} \approx 1,414 < 2$ — не подходит
    $\sqrt{5} \approx 2,236 > 2$ — подходит
    Ответ: $\sqrt{5}$.

  3. Решите систему неравенств: $\left\{\begin{array}{c}(x-4)^{2}-(x-6)^{2}>8 \\ 8(3 x-8) \geq 7(2 x-1)-51\end{array}\right.$
    Решение: Первое неравенство:
    $(x-4)^2 - (x-6)^2 = (x^2 -8x +16) - (x^2 -12x +36) = 4x -20 > 8$
    $4x > 28 \Rightarrow x > 7$
    Второе неравенство:
    $24x -64 \geq 14x -7 -51$
    $10x \geq 6 \Rightarrow x \geq 0,6$
    Пересечение решений: $x > 7$
    Ответ: $x > 7$.

  4. Постройте график функции $y=|3 x-2|-3 x$
    Решение: Рассмотрим два случая:
    1) $3x -2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}$:
    $y = 3x -2 -3x = -2$
    2) $3x -2 < 0 \Rightarrow x < \frac{2}{3}$:
    $y = -3x +2 -3x = -6x +2$
    График состоит из двух частей: горизонтальной прямой $y=-2$ при $x \geq \frac{2}{3}$ и наклонной прямой $y=-6x+2$ при $x < \frac{2}{3}$.
    Ответ: кусочно-линейная функция с изломом в точке $x=\frac{2}{3}$.

  5. Отношение длин параллельных сторон $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равно $1:3$. Диагонали $BD$ и $AC$ пересекаются в точке $O$. Найти отношение площадей треугольника $AOD$ и трапеции.
    Решение: Пусть $BC = k$, $AD = 3k$. Треугольники $AOD$ и $BOC$ подобны с коэффициентом $3:1$. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: $S_{AOD}:S_{BOC} = 9:1$.
    Площадь трапеции можно представить как сумму площадей треугольников $AOD$, $BOC$ и двух равновеликих треугольников $ABO$ и $COD$. Обозначим $S_{BOC} = S$, тогда $S_{AOD} = 9S$, а площади $ABO$ и $COD$ равны $3S$ каждый.
    Общая площадь трапеции: $9S + S + 3S + 3S = 16S$
    Искомое отношение: $\frac{S_{AOD}}{S_{трап}} = \frac{9S}{16S} = \frac{9}{16}$
    Ответ: $\frac{9}{16}$.
Материалы школы Юайти