Лицей №1511 из 6 в 7 класс 2019 год вариант 1

ЛИЦЕЙ №1511

2019 год

Вариант 1

1. Вычислить $$ \left(0,014 \cdot 1 \frac{2}{3}-0,286:(-0,6)\right):(-0,025) $$
2. Сравните значения выражений $$ \left(\left(-1 \frac{1}{8}\right)^{2}-2 \frac{1}{16}\right) \cdot \frac{8}{17} \text { и }-\frac{2,25 \cdot 1 \frac{7}{8}}{3,75 \cdot 3 \frac{3}{4}} $$
3. Решите уравнение
   1. $4 \cdot(0,7 x-4)=3 \cdot(-0,2 x+6)$
   2. $\frac{5}{4}(x-2)=\frac{9 x+8}{8}-3$
   3. $\mathrm{X} \cdot|\mathrm{x}|=-4 \mathrm{x}$
4. Найдите значение выражения $$ \frac{2}{9}(2,7 a-4,5 b)-1 \frac{1}{6}\left(2,4 a+1 \frac{1}{35} b\right), \text { если } a+b=-1 $$
5. Решите задачи
   1. Печатая со скоростью 180 знаков в минуту, машинистка набирает рукопись за 7 часов. Сколько знаков в минуту должна печатать машинистка, чтобы набрать эту рукопись за 5 часов?
   2. За первый час автомобилист проехал 50 километров и рассчитал, что если он будет ехать с той же скоростью, то опоздает в город на полчаса. Он увеличил скорость на $20 \%$ и прибыл в город вовремя. Какой путь проехал автомобилист и сколько он был в пути?
   3. * В кружке, где занимается Оля, менее $5 \%$ участников - девочки. Какое наименьшее число мальчиков может быть в таком кружке?
6. * Даны точки $\mathrm{A}(-\mathrm{a} ; \mathrm{b}) \mathrm{B}(\mathrm{a} ;-\mathrm{b}) \mathrm{C}(3 \mathrm{a} ; \mathrm{b})$, где $\mathrm{a}$ и $\mathrm{b}$ отличны от нуля. Найдите координаты точек пересечения сторон треугольника ABC с осями координат.

Решения задач

1. Вычислить
   $\left(0,014 \cdot 1 \frac{2}{3}-0,286:(-0,6)\right):(-0,025)$
   Решение:
   Переведем смешанное число: $1 \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$
   Последовательно выполним действия:
   $0,014 \cdot \frac{5}{3} = \frac{0,07}{3} ≈ 0,0233$
   $0,286 : (-0,6) = -0,4766$
   $0,0233 - (-0,4766) = 0,5$
   $0,5 : (-0,025) = -20$
   Ответ: -20.
   
   
2. Сравните значения выражений
   $\left(\left(-1 \frac{1}{8}\right)^{2}-2 \frac{1}{16}\right) \cdot \frac{8}{17} \text { и }-\frac{2,25 \cdot 1 \frac{7}{8}}{3,75 \cdot 3 \frac{3}{4}}$
   Решение:
   Левая часть:
   $-1 \frac{1}{8} = -\frac{9}{8}$, квадрат: $\frac{81}{64}$
   $\frac{81}{64} - \frac{33}{16} = \frac{81}{64} - \frac{132}{64} = -\frac{51}{64}$
   $-\frac{51}{64} \cdot \frac{8}{17} = -\frac{3}{8} = -0,375$
   Правая часть:
   $2,25 = \frac{9}{4}$, $1 \frac{7}{8} = \frac{15}{8}$, $3,75 = \frac{15}{4}$, $3 \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$
   $-\frac{\frac{9}{4} \cdot \frac{15}{8}}{\frac{15}{4} \cdot \frac{15}{4}} = -\frac{\frac{135}{32}}{\frac{225}{16}} = -\frac{135}{32} \cdot \frac{16}{225} = -\frac{3}{10} = -0,3$
   $-0,375 < -0,3$
   Ответ: $<$.
   
   
3. Решите уравнение
   1. $4 \cdot(0,7 x-4)=3 \cdot(-0,2 x+6)$
      Решение:
      $2,8x - 16 = -0,6x + 18$
      $2,8x + 0,6x = 18 + 16$
      $3,4x = 34$
      $x = 10$
      Ответ: 10.
      
      
   2. $\frac{5}{4}(x-2)=\frac{9 x+8}{8}-3$
      Решение:
      Умножим обе части на 8:
      $10(x-2) = 9x + 8 - 24$
      $10x - 20 = 9x - 16$
      $x = 4$
      Ответ: 4.
      
      
   3. $\mathrm{X} \cdot|\mathrm{x}|=-4 \mathrm{x}$
      Решение:
      Рассмотрим два случая:
      1) $x \geq 0$: $x^2 = -4x$ → $x(x + 4) = 0$ → $x = 0$
      2) $x < 0$: $-x^2 = -4x$ → $x^2 - 4x = 0$ → $x(x - 4) = 0$ → $x = 0$ (не подходит)
      Ответ: 0.
   
   
   
4. Найдите значение выражения
   $\frac{2}{9}(2,7 a-4,5 b)-1 \frac{1}{6}\left(2,4 a+1 \frac{1}{35} b\right), \text { если } a+b=-1$
   Решение:
   Упростим выражение:
   $\frac{2}{9}(2,7a - 4,5b) = 0,6a - 1b$
   $1 \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$, $1 \frac{1}{35} = \frac{36}{35}$
   $\frac{7}{6}(2,4a + \frac{36}{35}b) = 2,8a + 1,2b$
   Итоговое выражение: $0,6a - b - 2,8a - 1,2b = -2,2a - 2,2b = -2,2(a + b)$
   При $a + b = -1$: $-2,2 \cdot (-1) = 2,2$
   Ответ: 2,2.
   
   
5. Решите задачи
   1. Печатая со скоростью 180 знаков в минуту, машинистка набирает рукопись за 7 часов. Сколько знаков в минуту должна печатать машинистка, чтобы набрать эту рукопись за 5 часов?
      Решение:
      Объем работы: $180 \cdot 7 \cdot 60 = 75600$ знаков
      Новая скорость: $\frac{75600}{5 \cdot 60} = 252$ знака/мин
      Ответ: 252.
      
      
   2. За первый час автомобилист проехал 50 километров и рассчитал, что если он будет ехать с той же скоростью, то опоздает в город на полчаса. Он увеличил скорость на $20 \%$ и прибыл в город вовремя. Какой путь проехал автомобилист и сколько он был в пути?
      Решение:
      Пусть S — весь путь. При скорости 50 км/ч время: $\frac{S}{50} = t + 0,5$
      Новая скорость: $50 \cdot 1,2 = 60$ км/ч. Время: $\frac{S}{60} = t$
      Решаем систему:
      $\frac{S}{50} - \frac{S}{60} = 0,5$
      $\frac{S}{300} = 0,5$ → $S = 150$ км
      Время в пути: $\frac{150}{60} = 2,5$ часа
      Ответ: 150 км, 2,5 часа.
      
      
   3. * В кружке, где занимается Оля, менее $5 \%$ участников — девочки. Какое наименьшее число мальчиков может быть в таком кружке?
      Решение:
      Пусть всего N участников. Девочек менее $\frac{N}{20}$. Минимальное целое N, при котором $\frac{N}{20} > 1$ → N ≥ 21. Тогда мальчиков ≥ 21 - 1 = 20. Но если N=21, девочек 1 (≈4,76%), что удовлетворяет условию.
      Ответ: 20.
   
   
   
6. * Даны точки $\mathrm{A}(-\mathrm{a} ; \mathrm{b}) \mathrm{B}(\mathrm{a} ;-\mathrm{b}) \mathrm{C}(3 \mathrm{a} ; \mathrm{b})$, где а и ь отличны от нуля. Найдите координаты точек пересечения сторон треугольника ABC с осями координат.
   Решение:
   Уравнение AB:
   $\frac{y - b}{-b - b} = \frac{x + a}{a + a}$ → $\frac{y - b}{-2b} = \frac{x + a}{2a}$ → $y = -\frac{b}{a}x$
   Пересечение с осями: (0;0) и (0;0) — противоречие. Пересчитаем:
   AB: через A(-a,b) и B(a,-b). Угловой коэффициент: $k = \frac{-b - b}{a + a} = -\frac{b}{a}$
   Уравнение: $y - b = -\frac{b}{a}(x + a)$ → $y = -\frac{b}{a}x$
   Пересечение с осями: (0,0)
   BC: через B(a,-b) и C(3a,b). Угловой коэффициент: $k = \frac{b + b}{3a - a} = \frac{2b}{2a} = \frac{b}{a}$
   Уравнение: $y + b = \frac{b}{a}(x - a)$ → $y = \frac{b}{a}x - 2b$
   Пересечение с осью X: y=0 → $x = 2a$ → (2a,0)
   AC: через A(-a,b) и C(3a,b). Горизонтальная прямая y = b. Пересечение с осью Y: (0,b)
   Ответ: (0;b), (2a;0), (0;0).