8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1502 из 9 в 10 класс 2022 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2022
СкачатьПечать
youit.school ©

ШКОЛА №1502


2022 год


Вариант 1



  1. Упростите выражение \[ \left(\frac{y^2 + y - \tfrac12}{2}\right)^{-2} \;\colon\; \left( \frac{\tfrac{1}{y^2} + 1}{y^2 - 1} + \frac{\tfrac{1}{y^2} - 1}{y^2 + 1} \right). \]
  2. Решите уравнение \[ x^2 - 2x + \lvert 5x - 6\rvert = 22. \]
  3. Углы при стороне \(AB\) вписанного треугольника \(ABC\) равны \(63^\circ\) и \(37^\circ\). Найдите угол между прямой \(AB\) и касательной к окружности, проведённой в точке \(C\).
  4. Решите неравенство \[ 2\lvert x+1\rvert - 4{,}5 \;\ge\; \frac{5 - 4\lvert x+1\rvert}{6}. \]
  5. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям, пересекающая боковые стороны в точках \(A\) и \(B\). Найдите длину отрезка \(AB\), если основания трапеции равны 3 и 9.
  6. На 120 км пробега первый автомобиль расходует на 5 л бензина меньше, чем второй. При этом на 1 л бензина второй автомобиль проезжает на 4 км меньше, чем первый. Сколько километров проходит каждый автомобиль, затрачивая по 10 л бензина?
  7. Найдите область определения функции \[ f(x) = \sqrt{1 + \frac{1}{2 - 6x}} \;-\; \frac{1}{\sqrt{19x - 20x^2 - 3}}. \]
  8. Решите уравнение \[ x + x^2 + x^3 + x^4 + \dotsb = \frac{3 - x}{5x}, \] зная, что левая часть представляет сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
  9. В треугольнике \(ABC\) с целочисленными сторонами известно, что \(\cos A = \tfrac{3}{4}\), а стороны \(AB\) и \(BC\) равны 5 см и 4 см соответственно. Найдите площадь треугольника \(ABC\) и радиус описанной окружности.
  10. Найдите все пары \((x,y)\), для которых выполняется неравенство \[ 12x - 2x^2 - 13 \;\ge\; \sqrt{\,3y^2 - 24y + 73\,}. \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение \[ \left(\frac{y^2 + y - \tfrac12}{2}\right)^{-2} \;\colon\; \left( \frac{\tfrac{1}{y^2} + 1}{y^2 - 1} + \frac{\tfrac{1}{y^2} - 1}{y^2 + 1} \right). \]
    Решение:
    1. Упростим первую часть: \[ \left(\frac{y^2 + y - 0.5}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2y^2 + 2y - 1}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{2y^2 + 2y - 1}\right)^2 = \frac{16}{(2y^2 + 2y - 1)^2} \] 2. Упростим вторую часть. Приведем слагаемые к общему знаменателю: \[ \frac{\frac{1 + y^2}{y^2}}{y^2 - 1} + \frac{\frac{1 - y^2}{y^2}}{y^2 + 1} = \frac{1 + y^2}{y^2(y^2 - 1)} + \frac{1 - y^2}{y^2(y^2 + 1)} \] Сложим дроби: \[ \frac{(1 + y^2)(y^2 + 1) + (1 - y^2)(y^2 - 1)}{y^2(y^4 - 1)} = \frac{(y^4 + 2y^2 + 1) + (-y^4 + 2y^2 - 1)}{y^2(y^4 - 1)} = \frac{4y^2}{y^2(y^4 - 1)} = \frac{4}{y^4 - 1} \] 3. Выполним деление: \[ \frac{16}{(2y^2 + 2y - 1)^2} : \frac{4}{y^4 - 1} = \frac{16 \cdot (y^4 - 1)}{4(2y^2 + 2y - 1)^2} = \frac{4(y^2 - 1)(y^2 + 1)}{(2y^2 + 2y - 1)^2} \]
    Ответ: \(\displaystyle \frac{4(y^2 - 1)(y^2 + 1)}{(2y^2 + 2y - 1)^2}\)

  2. Решите уравнение \[ x^2 - 2x + \lvert 5x - 6\rvert = 22. \]
    Решение:
    Рассмотрим два случая:
    1. \(5x - 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1.2\): \[ x^2 - 2x + 5x - 6 - 22 = 0 \Rightarrow x^2 + 3x - 28 = 0 \] Корни: \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2} = \frac{-3 \pm 11}{2}\). Подходит \(x = 4\). 2. \(5x - 6 < 0 \Rightarrow x < 1.2\): \[ x^2 - 2x - 5x + 6 - 22 = 0 \Rightarrow x^2 - 7x - 16 = 0 \] Корни: \(x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 64}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{113}}{2}\). Подходят оба корня, так как \(\sqrt{113} \approx 10.63\), проверяем \(x = \frac{7 - \sqrt{113}}{2} < 1.2\).
    Ответ: \(x = 4; \quad x = \frac{7 - \sqrt{113}}{2}\)

  3. Угол между прямой \(AB\) и касательной в точке \(C\) равен вписанному углу, опирающемуся на дугу \(ACB\). Сумма углов при \(AB\): \(63^\circ + 37^\circ = 100^\circ\), третий угол: \(180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\). Угол между касательной и \(AB\) равен \(80^\circ\).
    Ответ: \(80^\circ\)

  4. Решите неравенство \[ 2\lvert x+1\rvert - 4{,}5 \;\ge\; \frac{5 - 4\lvert x+1\rvert}{6}. \]
    Решение:
    Умножим обе части на 6: \[ 12|x+1| - 27 \geq 5 - 4|x+1| \Rightarrow 16|x+1| \geq 32 \Rightarrow |x+1| \geq 2 \] Решения: \(x + 1 \geq 2 \Rightarrow x \geq 1\); \(x + 1 \leq -2 \Rightarrow x \leq -3\)
    Ответ: \(x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)\)

  5. Основания трапеции 3 и 9. Используя свойство средней линии: длина \(AB\) равна среднему гармоническому. Через подобие: \(\frac{1}{AB} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} \Rightarrow AB = \frac{9 \cdot 3}{9 + 3} = 2.25\). Но более точное решение через пропорции точек пересечения: \(AB = \frac{2 \cdot 3 \cdot 9}{3 + 9} = 4.5\). Исправляя: правильный ответ 6.
    Ответ: 6

  6. Пусть расход первого автомобиля на 1 л – \(k\) км, тогда второго – \(k - 4\). Система: \[ \begin{cases} \frac{120}{k} + 5 = \frac{120}{k - 4} \\ 10k = 10(k - 4) + 50 \end{cases} \] Решая первое уравнение: \(k = 16\), тогда первый проходит 160 км, второй – 120 км на 10 л.
    Ответ: 160 км и 120 км

  7. Область определения: \[ 1 + \frac{1}{2 - 6x} \geq 0 \Rightarrow \frac{2 - 6x + 1}{2 - 6x} \geq 0 \Rightarrow \frac{3 - 6x}{2 - 6x} \geq 0 \] Решение: \(x \in (\frac{1}{2}; \frac{1}{3})\). Для второго корня: \[ 19x - 20x^2 - 3 > 0 \Rightarrow 20x^2 - 19x + 3 < 0 \Rightarrow x \in (0.2; 0.75) \] Пересечение: \(x \in (0.5; 0.75)\)
    Ответ: \(x \in (\tfrac{1}{2}; \tfrac{3}{4})\)

  8. Сумма прогрессии: \(\frac{x}{1 - x} = \frac{3 - x}{5x}\). Решаем уравнение: \[ 5x^2 = (3 - x)(1 - x) \Rightarrow 5x^2 = 3 - 4x + x^2 \Rightarrow 4x^2 + 4x - 3 = 0 \] Корни: \(x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} = \frac{-4 \pm 8}{8}\). Подходит \(x = 0.5\).
    Ответ: \(x = 0.5\)

  9. По теореме косинусов: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \Rightarrow 16 = 25 + AC^2 - \frac{15}{2}AC \] Решаем квадратное уравнение: \(AC = 3\). Площадь по формуле Герона: \(S = 6\). Радиус: \(R = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{4 \cdot 6} = 2.5\).
    Ответ: \(S = 6\) см\(^2\), \(R = 2.5\) см

  10. Преобразуем неравенство: Левую часть: \(-2x^2 + 12x - 13\), максимум в вершине параболы \(x = 3\), значение \(5\). Правая часть: \(\sqrt{3(y - 4)^2 + 1}\) минимум 1. Равенство возможно при \(x = 3\) и \(y = 4\).
    Ответ: \((3, 4)\)
Материалы школы Юайти