8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1502 из 9 в 10 класс 2021 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2021
СкачатьПечать
youit.school ©

ШКОЛА №1502


2021 год


Вариант 1



  1. Упростите выражение \[ \sin^2\bigl(180^\circ + 3\alpha\bigr)\,\frac{\sin(3\alpha - 90^\circ)}{\sin(360^\circ - 3\alpha)}\;\ctg(180^\circ - 3\alpha). \]
  2. Вычислите \[ 0{,}1\cdot\sqrt{20} : \sqrt{45} - 2\frac{17}{30}. \]
  3. Найдите производную функции \[ y = \sqrt{x}\cos x. \]
  4. Найдите производную функции \[ y = \Bigl(-2\tg\frac{x}{4} - \frac{2}{^4\sqrt{x}}\Bigr)^{6}. \]
  5. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции \[ f(x) = x - 2\sqrt{x} \] в его точке с абсциссой \(x_0 = 4\).
  6. Решите неравенство \[ \sqrt{14 - x} \;\ge\; -5. \]
  7. На рисунке изображён график производной функции \(f(x)\), определённой на интервале \((-10;8)\). Найдите количество точек экстремума функции \(f(x)\) на отрезке \([-4;8]\).


Часть 2. Ответом на каждое задание № 8–13 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов.

  2. Укажите количество целых решений неравенства \[ \frac{4 - x}{x - 5} \;\ge\; \frac{1}{1 - x}. \]
  3. Найдите значение выражения \[ -\frac{18x_0}{\pi}, \] где \(x_0\) — наименьший положительный корень уравнения \(\sin^2 x + 2\sin x = 0\).
  4. Решите уравнение \[ \frac{\sqrt{22x - 13} - 5x + 2}{\sqrt{x + 24} - 5} = 0. \]
  5. Дано \(\tg\alpha = -\tfrac{4}{3}\), \(\tfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Найдите \(\cos 2\alpha\).
  6. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции \[ f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 24x + 1 \] на отрезке \([-2;2]\).
  7. Пусть \(x_0\) — точка минимума функции \[ f(x) = 5 - \sqrt[3]{\,(x^2 - 1)^2}\!. \] Найдите \(f(x_0)\).
  8. Вычислите \[ \cos\!\bigl(\arctg(-\tfrac{1}{4})\bigr). \]
  9. Два тела совершают прямолинейное движение по законам \[ s_1(t)=3t^2-2t+10,\quad s_2(t)=t^2+5t+1, \] где \(s\)—путь в метрах, \(t\)—время в секундах. Через сколько секунд, считая от \(t=0\), скорость движения первого тела будет в два раза больше скорости второго тела?


Часть 3. Запишите номер задания, а затем его полное решение

  1. [a)] Решите уравнение \[ 6\cos^2\!\Bigl(\tfrac{3\pi}{2}-x\Bigr) +\sin2x\cdot\cos\!\Bigl(\tfrac{7\pi}{3}\Bigr) =2+\cos^2x. \]
  2. [б)] Найдите корни на отрезке \(\bigl[-\tfrac{9\pi}{2};\,-3\pi\bigr]\).
  3. Найдите все корни уравнения \[ \sin^2x+\sin^2 2x+\sin^2 3x+\sin^2 4x =-2\sin\!\Bigl(-\tfrac{17\pi}{4}\Bigr)\cos\!\Bigl(-\tfrac{9\pi}{4}\Bigr), \] принадлежащие области определения функции \(\;y=\sqrt{\pi^2-4x^2}.\)
  4. Решите неравенство \[ \sqrt{9x-20}\;<\;x. \]
  5. Решите уравнение \[ \sqrt{3x-2\sqrt{3x-1}} \;=\; 1-\sqrt{3x-4\sqrt{3x-1}+3}. \]
  6. (10–в, г, е, ж, и, к, л, м, н) Исследуйте свойства функции и постройте график \[ y=\frac{\bigl(\sqrt{x+2}^{\;2}-3\bigr)(x+1)(4-x^3)}{x^4-x^2}. \]
  7. (10–в, г, д, е, ж, з, и, к, л, м, н) Решите неравенство \[ \frac{4-3x}{2x-1} +11\sqrt{\frac{3x-4}{2x-1}} >24. \]
  8. (10–д, з) Исследуйте свойства функции и постройте график \[ y=\sqrt[3]{x^3-x}. \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение \[ \sin^2\bigl(180^\circ + 3\alpha\bigr)\,\frac{\sin(3\alpha - 90^\circ)}{\sin(360^\circ - 3\alpha)}\;\ctg(180^\circ - 3\alpha). \]
    Решение:
    Используем тригонометрические тождества:
    $\sin(180^\circ + \theta) = -\sin\theta$, $\sin(\theta - 90^\circ) = -\cos\theta$,
    $\sin(360^\circ - \theta) = -\sin\theta$, $\ctg(180^\circ - \theta) = -\ctg\theta$.
    Подставляем:
    $\sin^2(3\alpha) \cdot \frac{-\cos3\alpha}{-\sin3\alpha} \cdot (-\ctg3\alpha) = \sin^23\alpha \cdot \frac{\cos3\alpha}{\sin3\alpha} \cdot (-\frac{\cos3\alpha}{\sin3\alpha}) = -\cos^23\alpha$.
    Ответ: $-\cos^23\alpha$.

  2. Вычислите \[ 0{,}1\cdot\sqrt{20} : \sqrt{45} - 2\frac{17}{30}. \]
    Решение:
    $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$, $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
    $0{,}1 \cdot \frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} = \frac{0{,}2}{3} = \frac{1}{15}$.
    $2\frac{17}{30} = \frac{77}{30}$.
    $\frac{1}{15} - \frac{77}{30} = \frac{2 - 77}{30} = -\frac{75}{30} = -2{,}5$.
    Ответ: $-2{,}5$.

  3. Найдите производную функции \[ y = \sqrt{x}\cos x. \]
    Решение:
    Используем правило производной произведения:
    $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\cos x - \sqrt{x}\sin x$.
    Ответ: $\frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}\sin x$.

  4. Найдите производную функции \[ y = \Bigl(-2\tg\frac{x}{4} - \frac{2}{^4\sqrt{x}}\Bigr)^{6}. \]
    Решение:
    Используем цепное правило. Пусть $u = -2\tg\frac{x}{4} - 2x^{-1/4}$:
    $y' = 6u^5 \cdot u'$.
    Вычисляем $u'$:
    $u' = -2 \cdot \frac{1}{4\cos^2\frac{x}{4}} + \frac{1}{2x^{5/4}}$.
    Ответ: $6\Bigl(-2\tg\frac{x}{4} - \frac{2}{x^{1/4}}\Bigr)^{5} \cdot \Bigl(-\frac{1}{2\cos^2\frac{x}{4}} + \frac{1}{2x^{5/4}}\Bigr)$.

  5. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции $f(x) = x - 2\sqrt{x}$ в точке $x_0 = 4$.
    Решение:
    Производная функции: $f'(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$.
    При $x = 4$: $f'(4) = 1 - \frac{1}{2} = 0{,}5$.
    Ответ: $0{,}5$.

  6. Решите неравенство $\sqrt{14 - x} \ge -5$.
    Решение:
    Корень квадратный всегда неотрицателен, поэтому неравенство выполняется для всей области определения:
    $14 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 14$.
    Ответ: $x \in (-\infty; 14]$.

  7. Найдите количество точек экстремума функции $f(x)$ на отрезке $[-4;8]$ по графику производной.
    Решение:
    Точки экстремума соответствуют пересечениям графика производной с осью x с изменением знака. На отрезке $[-4;8]$ таких точек 4.
    Ответ: 4.

  8. Количество целых решений неравенства $\frac{4 - x}{x - 5} \ge \frac{1}{1 - x}$.
    Решение:
    Преобразуем неравенство:
    $\frac{4 - x}{x - 5} - \frac{1}{1 - x} \ge 0 \Rightarrow \frac{(4 - x)(1 - x) - (x - 5)}{(x - 5)(1 - x)} \ge 0$.
    После упрощения получаем интервалы $x \in (1; 3) \cup [4; 5)$.
    Целые решения: $x = 2, 4$.
    Ответ: 2.

  9. Найдите значение выражения $-\frac{18x_0}{\pi}$, где $x_0$ — наименьший положительный корень уравнения $\sin^2x + 2\sinx = 0$.
    Решение:
    $\sinx(\sinx + 2) = 0 \Rightarrow \sinx = 0$ (так как $\sinx = -2$ невозможно).
    Наименьший положительный корень: $x = \pi$.
    $-\frac{18 \cdot \pi}{\pi} = -18$.
    Ответ: $-18$.

  10. Решите уравнение $\frac{\sqrt{22x - 13} - 5x + 2}{\sqrt{x + 24} - 5} = 0$.
    Решение:
    Числитель равен нулю: $\sqrt{22x - 13} = 5x - 2$.
    Возводим в квадрат: $22x - 13 = 25x^2 - 20x + 4 \Rightarrow 25x^2 - 42x + 17 = 0$.
    Корни: $x = 1$ (подходит), $x = \frac{17}{25}$ (не подходит).
    Ответ: 1.

  11. Найдите $\cos 2\alpha$ при $\tg\alpha = -\frac{4}{3}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.
    Решение:
    $\cos2\alpha = \frac{1 - \tg^2\alpha}{1 + \tg^2\alpha} = \frac{1 - \frac{16}{9}}{1 + \frac{16}{9}} = -\frac{7}{25}$.
    Ответ: $-0{,}28$.

  12. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 24x + 1$ на отрезке $[-2;2]$.
    Решение:
    Производная: $f'(x) = 6x^2 + 18x - 24 = 6(x^2 + 3x - 4)$. Корни: $x = 1$, $x = -4$ (не входит в интервал).
    Значения на концах и в критических точках:
    $f(-2) = 77$, $f(1) = -12$, $f(2) = 5$.
    Сумма: $-12 + 77 = 65$.
    Ответ: 65.

  13. Найдите $f(x_0)$, где $x_0$ — точка минимума функции $f(x) = 5 - \sqrt[3]{(x^2 - 1)^2}$.
    Решение:
    Производная: $f'(x) = -\frac{4x}{3\sqrt[3]{x^2 - 1}}$. Критические точки: $x = 0$ и $x = \pm1$.
    Точка минимума: $x = 0$. $f(0) = 5 - 1 = 4$.
    Ответ: 4.

  14. Вычислите $\cos(\arctg(-\frac{1}{4}))$.
    Решение:
    $\arctg(-\frac{1}{4})$ соответствует углу, где $\tg\theta = -\frac{1}{4}$,
    $\cos\theta = \frac{4}{\sqrt{17}}$. Учитывая знак, $\cos\theta = \frac{4}{\sqrt{17}}$.
    Ответ: $\frac{4\sqrt{17}}{17}$.

  15. Через сколько секунд скорость первого тела будет вдвое больше скорости второго?
    Решение:
    Найдем скорости: $v_1(t) = 6t - 2$, $v_2(t) = 2t + 5$.
    Уравнение: $6t - 2 = 2(2t + 5) \Rightarrow 6t - 2 = 4t + 10 \Rightarrow t = 6$.
    Ответ: 6.




Часть 3.

  1. [a)] Решите уравнение \[ 6\cos^2\!\Bigl(\tfrac{3\pi}{2}-x\Bigr) +\sin2x\cdot\cos\!\Bigl(\tfrac{7\pi}{3}\Bigr) =2+\cos^2x. \]
    Решение:
    Упрощаем тригонометрические выражения:
    $\cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -\sinx$, $\cos(\frac{7\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
    Подставляем:
    $6(-\sinx)^2 + \sin2x \cdot \frac{1}{2} = 2 + \cos^2x$.
    Упрощаем:
    $6\sin^2x + \frac{1}{2}\sin2x = 2 + (1 - \sin^2x)$.
    Решаем уравнение:
    $7\sin^2x + \sin2x - 3 = 0$.
    Окончательные корни: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, $x = \frac{5\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

  2. [б)] Найдите корни на отрезке $\bigl[-\tfrac{9\pi}{2};\,-3\pi\bigr]$.
    Решение:
    Подставляя значения $k$ для $\frac{\pi}{6} + \pi k$ и $\frac{5\pi}{6} + \pi k$:
    Корни на отрезке: $-\frac{35\pi}{6}$, $-\frac{31\pi}{6}$.
    Ответ: $-\frac{35\pi}{6}$, $-\frac{31\pi}{6}$.

  3. Все корни уравнения: \[ \sin^2x+\sin^2 2x+\sin^2 3x+\sin^2 4x = -2\sin\!\Bigl(-\tfrac{17\pi}{4}\Bigr)\cos\!\Bigl(-\tfrac{9\pi}{4}\Bigr). \]
    Решение:
    Правая часть: $-2\sin(-\frac{17\pi}{4})\cos(-\frac{9\pi}{4}) = 2\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} = 1$.
    Уравнение принимает вид: $\sum \sin^2kx = 1$.
    Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ в области $y=\sqrt{\pi^2-4x^2}$, то есть $|x| \le \frac{\pi}{2}$.
    Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{2}$.

  4. Решите неравенство $\sqrt{9x-20} < x$.
    Решение:
    ОДЗ: $9x - 20 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{20}{9}$.
    Возводим в квадрат: $9x - 20 0$.
    Решаем неравенство: $x \in (-\infty;4) \cup (5;\infty)$. Учитывая ОДЗ: $x \in [\frac{20}{9};4) \cup (5;\infty)$.
    Ответ: $[\frac{20}{9};4) \cup (5;\infty)$.

  5. Решите уравнение: \[ \sqrt{3x-2\sqrt{3x-1}} = 1-\sqrt{3x-4\sqrt{3x-1}+3}. \]
    Решение:
    Сделаем замену $t = \sqrt{3x -1}$:
    Уравнение примет вид $\sqrt{t^2 -2t +1} = 1 - \sqrt{t^2 -4t +4}$.
    Упрощаем: $|t -1| =1 - |t -2|$.
    Решаем случаи и получаем $t = \frac{3}{2}$.
    Возвращаемся к $x$: $\sqrt{3x -1} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{13}{12}$.
    Ответ: $\frac{13}{12}$.
Материалы школы Юайти