Лицей №1502 из 9 в 10 класс 2020 год вариант 1

ШКОЛА №1502

2020 год

Вариант 1

1. 1. Решить уравнение \[ x^4 - 7x^2 + 6 = 0. \]
   2. Решить неравенство \[ (5x - 2)(4x + 8)(x - 3)\;\ge\;0. \]
   
   
   
2. Упростить выражение для \(A\), \(B\), \(C\): \[ A = \frac{a - 49}{a} \;-\; \frac{a - 16}{7a}, \quad B = \frac{25^{-5}\cdot125^4}{12^{0.5}}, \quad C = \frac{\bigl((a - 6\sqrt{b})(1 + 30\sqrt{b}) - \tfrac{1}{a^2} + 180b\bigr)\,a}{2\sqrt{b}} + A\cdot B. \]
   
   
3. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, равна 20 см, а боковая сторона равна 25 см. Найти:
   1. площадь треугольника;
   2. высоту, проведённую к боковой стороне.
   
   
   
4. Дана функция \[ y = \Bigl(\frac{x}{2x-9}\Bigr)^2 \;-\;\frac{2x^2 - 14x + 27}{2x-9}. \]
   1. Найти область допустимых значений функции;
   2. построить график функции.
   
   
   
5. Найти все значения параметра \(k\), при которых действительные корни \(x_1, x_2\) уравнения \[ x^2 - (7 + k)x + 15k = 0 \] удовлетворяют соотношению \[ \frac{x_1 + x_2}{k} = x_1 x_2 - 7. \]
   
   
6. Если сначала половину заказа выполнит один рабочий, а потом другую половину — второй рабочий, то весь заказ будет выполнен за 2 ч. Если же первый рабочий выполнит одну треть заказа, а потом оставшуюся часть выполнит второй, то весь заказ будет сделан за 2 ч 10 мин. Найти:
   1. за какое время каждый из рабочих может отдельно выполнить весь заказ;
   2. за какое время будет выполнен весь заказ, если с самого начала оба рабочих будут работать вместе.

1. Найти все значения параметра \(k\), при которых действительные корни \(x_1, x_2\) уравнения \[ x^2 - (k + 9)x + 9k = 0 \] удовлетворяют соотношению \[ \bigl|x_1(1 - x_2) + 9k + x_2\bigr| + \bigl|x_1x_2\bigr| = \sqrt{\frac{79 - 20\sqrt{3}}{-5\sqrt{3}}} + 41. \]
2. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны и каждая из них делится точкой пересечения в отношении \(1:4\). Найти периметр трапеции, если её большее основание равно 16 см.

Решения задач

1. 1. Решить уравнение \(x^4 - 7x^2 + 6 = 0\).
      Решение: Замена \(y = x^2\): \[ y^2 - 7y + 6 = 0 \implies y_{1,2} = \frac{7 \pm 5}{2} = 6; \; 1. \] Возврат к \(x\): \[ x^2 = 6 \implies x = \pm\sqrt{6}; \quad x^2 = 1 \implies x = \pm{1}. \] Ответ: \(\pm 1; \pm \sqrt{6}\).
   2. Решить неравенство \((5x - 2)(4x + 8)(x - 3) \geq 0\).
      Решение: Нули: \(x = \frac{2}{5}\), \(x = -2\), \(x = 3\). Метод интервалов: \[ x \in [-2, \frac{2}{5}] \cup [3, +\infty). \] Ответ: \(\left[-2, \frac{2}{5}\right] \cup [3, +\infty)\).
2. Упростить выражение: \[ A = \frac{a - 49}{a} - \frac{a - 16}{7a} = \frac{6a - 327}{7a}. \] \[ B = \frac{25^{-5} \cdot 125^4}{\sqrt{12}} = \frac{25\sqrt{3}}{6}. \] Упрощение \(C\) требует дополнительных вычислений и приводится к виду, зависящему от \(A\) и \(B\).
3. 1. Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 20 = 300\ \text{см}^2. \]
   2. Высота к боковой стороне: \[ h = \frac{2 \cdot 300}{25} = 24\ \text{см}. \] Ответ: 300 см²; 24 см.
4. 1. Область определения: \(x \neq \frac{9}{2}\).
   2. График функции преобразуется после упрощения выражения.
5. Найти значения \(k\): \[ \frac{7 + k}{k} = 15k - 7 \implies 15k^2 - 8k - 7 = 0 \implies k_{1} = 1; \; k_{2} = -\frac{7}{15}. \] Ответ: \(k = 1\); \(k = -\frac{7}{15}\).
6. 1. Время первого и второго рабочих: \[ x = 1.5\ \text{ч}; \quad y = 2.5\ \text{ч}. \]
   2. Совместное выполнение: \[ t = \frac{15}{16}\ \text{ч}. \]
7. Корни уравнения удовлетворяют условию только при отсутствии действительных решений из-за противоречия в подкоренном выражении.

1. Нет действительных значений \(k\) из-за отрицательности аргумента корня.
2. Периметр трапеции: \[ P = 40\ \text{см}. \]