Школа №1502 из 8 в 9 класс 2020 год вариант 25
Печать
youit.school ©
ШКОЛА №1502
2020 год
Вариант 25
- Решить задачу:
Сумма двух положительных чисел в 180 раз больше суммы их обратных величин. Найти эти числа, если известно, что первое число на 3 больше второго. - Упростить выражение: $$ \frac{\left(2 a+\sqrt{a}-1-\frac{3 \sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+5}\right) \cdot\left(2 \sqrt{a}+10-\frac{9+46 \sqrt{a^{-1}}}{1+5 \sqrt{a}}\right)^{-1}-3 \sqrt{a}}{\sqrt{18+2 \sqrt{79}}-\sqrt{18-2 \sqrt{79}}} \cdot \sqrt{9-\sqrt{2}} $$
- При каких значениях $k$ корни $\mathrm{x}_{1}$ и $\mathrm{x}_{2}$ квадратного уравнения $z^{2}+(2 k-1) x-3 k+1=0 \quad$ удовлетворяют соотношению $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-\sqrt{1-2 x_{1} x_{2}+x_{1}^{2} x_{2}^{2}}=2-6 k$
- Решить систему неравенств: $$ \begin{aligned} &\left.\frac{1}{3 x^{2}+3 \sqrt{3 x}+2}+\frac{1}{3 x^{2}+5 \sqrt{3 x}+6}+\frac{1}{3 x^{2}+7 \sqrt{3 x+12}}\right) \cdot\left(3 x^{2}+5 \sqrt{3} x+4\right)=5-x \\ &\frac{9-3 x}{3-x} \geq \frac{2-x}{3-x}-5+2 x \end{aligned} $$
- Решить уравнение: $$ \sqrt{1+5 x(2+5 x)}+\frac{\sqrt{2(1-x)+x^{2}-1}}{2 x-(\sqrt{3 x-1})^{2}}=6,5 x-\frac{3 x-4}{2} $$
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решить задачу: Сумма двух положительных чисел в 180 раз больше суммы их обратных величин. Найти эти числа, если известно, что первое число на 3 больше второго.
Решение: Пусть второе число равно $y$, тогда первое число $y + 3$. По условию: \[ (y + 3 + y) = 180 \cdot \left( \frac{1}{y + 3} + \frac{1}{y} \right) \] \[a 2y + 3 = \frac{180(2y + 3)}{y(y + 3)} \quad \Big| : (2y + 3) \, (\neq 0) \] \[ 1 = \frac{180}{y(y + 3)} \quad \Rightarrow \quad y(y + 3) = 180 \] Решаем квадратное уравнение: \[ y^2 + 3y - 180 = 0 \quad \Rightarrow \quad D = 729, \quad y = \frac{-3 \pm 27}{2} \] Выбираем положительный корень: $y = 12$. Тогда первое число: $12 + 3 = 15$.
Ответ: 15 и 12.
- Упростить выражение:
\[
\frac{\left(2a + \sqrt{a} - 1 - \frac{3\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 5}\right) \cdot \left(2\sqrt{a} + 10 - \frac{9 + 46\sqrt{a^{-1}}}{1 + 5\sqrt{a}}\right)^{-1} - 3\sqrt{a}}{\sqrt{18 + 2\sqrt{79}} - \sqrt{18 - 2\sqrt{79}}} \cdot \sqrt{9 - \sqrt{2}}
\]
Решение:
- Подстановка $t = \sqrt{a}$. Упростим числитель и знаменатель:
- Первая дробь: $\frac{(2t^2 + t - 1)(2t + 10) - (3t - 1)}{t + 5} = \frac{(4t^2 + 20t^2 + \ldots)}{t + 5}$ (выкладки опущены для краткости).
- Знаменатель с корнями: $\sqrt{(\sqrt{79} + 1)^2} - \sqrt{(\sqrt{79} - 1)^2} = 2$.
- После упрощений выражение равно $\sqrt{9 - \sqrt{2}}$.
- При каких значениях $k$ корни квадратного уравнения $z^2 + (2k - 1)z - 3k + 1 = 0$ удовлетворяют соотношению:
\[
x_{1}^2 + x_{2}^2 - \sqrt{1 - 2x_{1}x_{2} + x_{1}^2x_{2}^2} = 2 - 6k
\]
Решение: По теореме Виета:
\[
x_{1} + x_{2} = -(2k - 1), \quad x_{1}x_{2} = -3k + 1
\]
Преобразуем левую часть:
\[
(x_{1} + x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2} - \sqrt{(1 - x_{1}x_{2})^2}
\]
\[
= (4k^2 - 4k + 1 + 6k - 2) - |3k| = 4k^2 + 2k - 1 - |3k|
\]
Решаем уравнение:
\[
4k^2 + 8k - 3 - |3k| = 0
\]
- Для $k \geq 0$: $4k^2 + 5k - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{-5 + \sqrt{73}}{8}$.
- Для $k < 0$: $4k^2 + 11k - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad k = -3$.
Ответ: $k = -3$, $k = \frac{-5 + \sqrt{73}}{8}$.
- Решить систему неравенств:
\[
\begin{aligned}
&\left(\frac{1}{3x^{2} + 3\sqrt{3x} + 2} + \frac{1}{3x^{2} + 5\sqrt{3x} + 6} + \frac{1}{3x^{2} + 7\sqrt{3x} + 12}\right) \cdot (3x^{2} + 5\sqrt{3}x + 4) = 5 - x \\
&\frac{9 - 3x}{3 - x} \geq \frac{2 - x}{3 - x} - 5 + 2x
\end{aligned}
\]
Решение:
- Второе неравенство: после преобразований $x \in [1, 3)$.
- Первое уравнение: замена $t = \sqrt{3x}$, приводит к тождеству при $x = 1$.
- Проверка показывает, что $x = 1$ — единственное решение.
- Решить уравнение:
\[
\sqrt{1 + 5x(2 + 5x)} + \frac{\sqrt{2(1 - x) + x^2 - 1}}{2x - (\sqrt{3x - 1})^2} = 6{,}5x - \frac{3x - 4}{2}
\]
Решение:
- Левую часть упрощаем: $\sqrt{(5x + 1)^2} + \frac{|x - 1|}{1 - x}$.
- Правая часть: $5x + 2$.
- Для $x \in [\frac{1}{3}, 1)$ уравнение принимает вид $5x + 1 + 1 = 5x + 2 \quad \Rightarrow \quad 0 = 0$.
Материалы школы Юайти