Лицей №1502 из 8 в 9 класс 2020 год вариант 1

ШКОЛА №1502

2020 год

Вариант 1

1. Найдите значение выражения \[ C = 8\cdot10^{-1} + 7\cdot10^{-3} + 3\cdot10^{-4} + A - B, \] если \[ A = (8,25 - 0,6 \cdot 9\tfrac{1}{6}) : \bigl(-4\tfrac{7}{12}\bigr), \quad B = \sqrt{\frac{33\cdot 48}{22\cdot 50}}. \]
2. Решите уравнения:
   1. $4x^2 + 7x - 2 = 0$;
   2. $1,2x^2 - 4,8x = 0$.
3. 1. Постройте график функции \[ y = (2 - 3x)^2 + (1 + 3x)(1 - 3x); \]
   2. Найдите точку пересечения графика функции с осью $Ox$.
4. Решите неравенство \[ \frac{8 - 9x}{2} > 1 - 2x. \]

2. Упростите выражение \[ \Bigl(\frac{y}{x-y} + \frac{x}{x+y}\Bigr) : \Bigl(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}\Bigr) - \frac{y^4}{x^2 - y^2} \] и найдите его значение при $y = \sqrt{5 - 3}$ и $x = \sqrt{5 + 3}$.
3. Упростите выражение \[ \frac{(-3a^4b^3)^3 \cdot 4b}{a^7 \cdot (-3b^3)^2}. \]
4. Решите задачу. Расстояние от $A$ до $B$ первый автомобиль проезжает в $1\tfrac{2}{7}$ раза быстрее второго автомобиля.
   1. Найдите скорости автомобилей, если известно, что скорость первого на 14~км/ч больше скорости второго.
   2. Найдите расстояние между автомобилями через 30~минут после выхода второго автомобиля из $A$, если первый отправился из этого пункта на 10~минут раньше.
5. 1. Найдите все значения параметра $k$, при которых действительные корни уравнения \[ x^2 - (8 + 2k)x + 15 + 4k = 0 \] удовлетворяют соотношению \[ \frac{2k x_1^2 - 2k x_2^2}{x_1 - x_2} = x_1 + x_2 + 4\cdot\bigl(5 + 4k\bigr). \]
   2. При каких значениях параметра $k$ корни уравнения совпадают?
   3. 1. Постройте график функции \[ y = \frac{3x + 6}{\sqrt{x + 3}} \cdot \sqrt{x^2 + 16 - 8x - 3x}. \]
      2. Найдите значение \(y\), если \[ 10x = \sqrt{52 - 14\sqrt{3}} + \sqrt{28 + 10\sqrt{3}}. \]
   4. Решите уравнение \[ 1 - \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\,10 - x^2\,}}} = \frac{1}{2}. \]

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ C = 8\cdot10^{-1} + 7\cdot10^{-3} + 3\cdot10^{-4} + A - B, \] где: \[ A = (8,25 - 0,6 \cdot 9\tfrac{1}{6}) : \left(-4\tfrac{7}{12}\right) = -0,6; \quad B = \sqrt{\frac{33 \cdot 48}{22 \cdot 50}} = 1,2. \]
   Решение: \[ C = 0,8 + 0,007 + 0,0003 - 0,6 - 1,2 = -0,9927. \]
   Ответ: \(-0,9927\).
   
   
2. Решите уравнения:
   1. \(4x^2 + 7x - 2 = 0\)
      Решение: \[ D = 49 + 32 = 81; \quad x_{1,2} = \frac{-7 \pm 9}{8}; \quad x_1 = 0,25; \quad x_2 = -2. \]
      Ответ: \(0,25\) и \(-2\).
   2. \(1,2x^2 - 4,8x = 0\)
      Решение: \[ x(1,2x - 4,8) = 0; \quad x_1 = 0; \quad x_2 = 4. \]
      Ответ: \(0\) и \(4\).
   
   
   
3. 1. Постройте график функции \(y = (2 - 3x)^2 + (1 + 3x)(1 - 3x)\)
      Решение: Упрощаем: \[ y = 4 - 12x + 9x^2 + 1 - 9x^2 = 5 - 12x. \] График — прямая \(y = 5 - 12x\).
   2. Найдите точку пересечения с осью \(Ox\): \[ 5 - 12x = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{12} \approx 0,4167. \]
      Ответ: \((\frac{5}{12}; 0)\).
   
   
   
4. Решите неравенство \(\frac{8 - 9x}{2} > 1 - 2x\)
   Решение: \[ 8 - 9x > 2 - 4x \Rightarrow -5x > -6 \Rightarrow x < \frac{6}{5} = 1,2. \]
   Ответ: \(x \in (-\infty; 1,2)\).
   
   
5. Упростите выражение \[ \left(\frac{y}{x-y} + \frac{x}{x+y}\right) : \left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}\right) - \frac{y^4}{x^2 - y^2}. \] При \(y = \sqrt{2}\) и \(x = 2\sqrt{2}\):
   Решение: \[ \text{Упрощаем до } y^2 = 2; \quad\text{Ответ: }2. \]
   
   
6. Упростите выражение \[ \frac{(-3a^4b^3)^3 \cdot 4b}{a^7 \cdot (-3b^3)^2} = -12a^5b^4. \]
   Ответ: \(-12a^5b^4\).
   
   
7. Решите задачу:
   1. Скорость первого автомобиля — 63 км/ч, второго — 49 км/ч.
      Ответ: 63 км/ч и 49 км/ч.
   2. Расстояние через 30 минут — 17,5 км.
      Ответ: \(17,5\) км.
   
   
   
8. 1. Решение уравнения при \(k = \frac{1 \pm \sqrt{113}}{4}\).
   2. Корни совпадают при \(k = -2 \pm \sqrt{3}\).
   3. График функции \(y = 5 - 12x\).
   
   
   
9. Решите уравнение \(1 - \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 - x^2}}} = \frac{1}{2}\)
   Решение: Нет действительных решений.