8 800 707-67-29Связаться с нами
8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Мы всегда на связи

Пишите в любое удобное время:
whatsappvktelegram
Или задайте вопрос через форму:

Лицей №146 из 9 в 10 класс 2017 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 06.2017

Бесплатный марафон к топ-школам!

Уже идёт
Видеоразборы, гайды, авторские варианты.
Смотреть!
Печать
youit.school ©
Вступительная работа в 10 класс МАОУ «СОШ № 146»
20 июня 2017 г.
Вариант 1


    1. Вычислите: \[ (-0.5)^{-3} \;-\;\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^{-4} \;-\;\frac{2}{5} \;-\;\Bigl(\sqrt{\tfrac{4}{9}}\Bigr) \;+\;16^{\tfrac14}\cdot0.5. \]

    2. Упростите выражение: \[ \left(\frac{a^2 + 4}{a^3 + 2\sqrt2} - \frac{1}{a + \sqrt2}\right) \;\bigg/\; \left(\frac{a^2}{\sqrt2} - a + \sqrt2\right)^{-1}. \]


    1. Решите уравнение: \[ \left(\frac{x^2 - 3x + 2}{x}\right)^{2} \;-\;x \;=\;\frac{2 - 3x}{x}. \]

    2. Решите неравенство: \[ \frac{(x^2 - 4x + 4)\,(9 - x^2)} {x^2 + 8x + 16} \;\le\;0. \]


    1. Острый угол прямоугольного треугольника равен $24^\circ$. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла.

    2. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен $5$ см, а высота, проведённая к основанию, равна $8$ см. Найдите площадь треугольника.


  4. Из города одновременно в одном направлении выехали «Рено» и «Тойота». Через час в том же направлении выехал «Мерседес». Ещё через час расстояние между «Тойотой» и «Мерседесом» стало в $1{,}5$ раза меньше, а между «Рено» и «Мерседесом» — в 2 раза меньше. Найдите отношение скоростей «Тойоты» и «Рено», если известно, что оно больше $1{,}5$.

  5. Изобразите на координатной плоскости область, задаваемую неравенствами \[ y \ge 2x^2 + 4x - 1, \quad x + y \le 2, \] и аналитически найдите такое значение \(p\), при котором отрезок прямой x=p, лежащий в построенной области, имеет максимальную длину.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
  1. Задача. Вычислите значение выражения \[ (-0{,}5)^{-3}-\left(\tfrac25\right)^{-4}-\tfrac25-\sqrt{\tfrac49}+16^{\tfrac14}\cdot0{,}5. \]
    Решение. Имеем: $(-0{,}5)^{-3}=(-\tfrac12)^{-3}=-8$, $\left(\tfrac25\right)^{-4}=\left(\tfrac52\right)^4=\tfrac{625}{16}$, $\sqrt{\tfrac49}=\tfrac23$, $16^{\tfrac14}=2$, поэтому $16^{\tfrac14}\cdot0{,}5=1$. Тогда \[ -8-\frac{625}{16}-\frac25-\frac23+1=-7-\frac{625}{16}-\frac25-\frac23 =-\frac{1680+9375+96+160}{240}=-\frac{11311}{240}. \]
    Ответ. $-\tfrac{11311}{240}$.
  2. Задача. Упростите выражение \[ \left(\frac{a^2+4}{a^3+2\sqrt2}-\frac{1}{a+\sqrt2}\right)\bigg/\left(\frac{a^2}{\sqrt2}-a+\sqrt2\right)^{-1}. \]
    Решение. Деление на степень $(-1)$ заменим умножением: выражение равно \[ \left(\frac{a^2+4}{a^3+2\sqrt2}-\frac{1}{a+\sqrt2}\right)\left(\frac{a^2}{\sqrt2}-a+\sqrt2\right). \] Заметим, что $a^3+2\sqrt2=a^3+(\sqrt2)^3=(a+\sqrt2)(a^2-a\sqrt2+2)$. Тогда \[ \frac{a^2+4}{a^3+2\sqrt2}-\frac{1}{a+\sqrt2} =\frac{a^2+4-(a^2-a\sqrt2+2)}{a^3+2\sqrt2} =\frac{a\sqrt2+2}{a^3+2\sqrt2} =\frac{\sqrt2}{a^2-a\sqrt2+2}. \] Кроме того, \[ \frac{a^2}{\sqrt2}-a+\sqrt2=\frac{a^2-a\sqrt2+2}{\sqrt2}. \] Перемножая, получаем $1$ (при $a\neq-\sqrt2$).
    Ответ. $1$.
  3. Задача. Решите уравнение \[ \left(\frac{x^2-3x+2}{x}\right)^2-x=\frac{2-3x}{x}. \]
    Решение. Область определения: $x\neq0$. Умножим уравнение на $x^2$: \[ (x^2-3x+2)^2-x^3=2x-3x^2. \] Переносим всё влево и раскрываем скобки, получаем \[ x^4-7x^3+16x^2-14x+4=0. \] Это многочлен раскладывается на множители: \[ x^4-7x^3+16x^2-14x+4=(x^2-3x+2)(x^2-4x+2)=(x-1)(x-2)(x^2-4x+2). \] Отсюда $x=1$, $x=2$ или $x^2-4x+2=0$, то есть $x=2\pm\sqrt2$.
    Ответ. $1;\;2;\;2-\sqrt2;\;2+\sqrt2$.
  4. Задача. Решите неравенство \[ \frac{(x^2-4x+4)(9-x^2)}{x^2+8x+16}\le0. \]
    Решение. Разложим на множители: $x^2-4x+4=(x-2)^2$, $x^2+8x+16=(x+4)^2$, поэтому при $x\neq-4$ имеем \[ \frac{(x-2)^2(9-x^2)}{(x+4)^2}\le0. \] Дробь отличается по знаку от множителя $9-x^2$, так как $(x-2)^2\ge0$ и $(x+4)^2>0$ при $x\neq-4$. Значит, неравенство выполняется при $9-x^2\le0$ (то есть $x\le-3$ или $x\ge3$) и также при $x=2$ (тогда числитель равен нулю), при этом точка $x=-4$ исключается из области определения.
    Ответ. $(-\infty,-4)\cup(-4,-3]\cup\{2\}\cup[3,+\infty)$.
  5. Задача. В прямоугольном треугольнике острый угол равен $24^\circ$. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла.
    Решение. Пусть $\triangle ABC$ прямоугольный, $\angle C=90^\circ$, $\angle A=24^\circ$. Проведём из $C$ высоту $CH$ и медиану $CM$ к гипотенузе $AB$. Обозначим $CA=b$, $CB=a$, тогда $\tan A=\tfrac{a}{b}$. В координатной модели (ось $Ox$ вдоль $CA$, ось $Oy$ вдоль $CB$) направляющие векторы $CM$ и $CH$ можно взять как $(b,a)$ и $(a,b)$, поэтому \[ \cos\angle HCM=\frac{(a,b)\cdot(b,a)}{a^2+b^2}=\frac{2ab}{a^2+b^2}. \] Делим числитель и знаменатель на $b^2$: \[ \cos\angle HCM=\frac{2\tan A}{1+\tan^2 A}=\sin 2A=\sin48^\circ=\cos42^\circ. \] Значит, $\angle HCM=42^\circ$.
    Ответ. $42^\circ$.
  6. Задача. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен $5$ см, а высота к основанию равна $8$ см. Найдите площадь треугольника.
    Решение. Пусть $AB=AC=s$, основание $BC=b$, высота $AD=8$ см. Тогда площадь $S=\tfrac12\cdot b\cdot 8=4b$. По формуле для описанной окружности $R=\dfrac{abc}{4S}$ получаем \[ 5=\frac{s\cdot s\cdot b}{4\cdot 4b}=\frac{s^2}{16}, \] откуда $s^2=80$. В прямоугольном треугольнике $ABD$: \[ s^2=AD^2+BD^2=8^2+\left(\tfrac{b}{2}\right)^2, \] значит $\left(\tfrac{b}{2}\right)^2=80-64=16$, поэтому $b=8$. Тогда $S=4b=32$.
    Ответ. $32\ \text{см}^2$.
  7. Задача. Из города одновременно в одном направлении выехали «Рено» и «Тойота». Через час в том же направлении выехал «Мерседес». Ещё через час расстояние между «Тойотой» и «Мерседесом» стало в $1{,}5$ раза меньше, а между «Рено» и «Мерседесом» — в $2$ раза меньше. Найдите отношение скоростей «Тойоты» и «Рено», если известно, что оно больше $1{,}5$.
    Решение. Пусть скорости равны $v_T$ (Тойота), $v_R$ (Рено), $v_M$ (Мерседес). В момент выезда Мерседеса (через $1$ час) расстояния до Тойоты и Рено равны $v_T$ и $v_R$. Ещё через час: Тойота проедет $2v_T$, Рено $2v_R$, Мерседес $v_M$, поэтому \[ |2v_T-v_M|=\frac{v_T}{1{,}5}=\frac{2}{3}v_T,\qquad |2v_R-v_M|=\frac{v_R}{2}. \] Отсюда $v_M=\tfrac{4}{3}v_T$ или $v_M=\tfrac{8}{3}v_T$, а также $v_M=\tfrac{3}{2}v_R$ или $v_M=\tfrac{5}{2}v_R$. Приравнивая, получаем возможные значения $\tfrac{v_T}{v_R}\in\left\{\tfrac98,\tfrac{15}{8},\tfrac{9}{16},\tfrac{15}{16}\right\}$. Условию $\tfrac{v_T}{v_R}>1{,}5$ удовлетворяет только $\tfrac{15}{8}$.
    Ответ. $\tfrac{15}{8}$.
  8. Задача. Постройте область, заданную неравенствами $y\ge 2x^2+4x-1$ и $x+y\le2$, и найдите значение $p$, при котором отрезок прямой $x=p$, лежащий в этой области, имеет максимальную длину.
    Решение. Второе неравенство даёт $y\le2-x$, значит область состоит из точек, для которых \[ 2x^2+4x-1\le y\le 2-x. \] Чтобы область была непустой, нужно $2x^2+4x-1\le 2-x$, то есть $2x^2+5x-3\le0$, откуда $x\in[-3;\tfrac12]$. При фиксированном $x=p$ длина вертикального отрезка равна разности верхней и нижней границ: \[ L(p)=(2-p)-(2p^2+4p-1)=-2p^2-5p+3. \] Это парабола, ветви вниз, поэтому максимум достигается в вершине: $p=-\dfrac{-5}{2\cdot(-2)}=-\dfrac54$ (и это значение лежит в $[-3;\tfrac12]$).
    Ответ. $-\tfrac54$.
Материалы школы Юайти