Лицей №146 из 9 в 10 класс 2017 вариант 1

1. 1. Вычислите: \[ (-0.5)^{-3} \;-\;\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^{-4} \;-\;\frac{2}{5} \;-\;\Bigl(\sqrt{\tfrac{4}{9}}\Bigr) \;+\;16^{\tfrac14}\cdot0.5. \]
      
      
   2. Упростите выражение: \[ \left(\frac{a^2 + 4}{a^3 + 2\sqrt2} - \frac{1}{a + \sqrt2}\right) \;\bigg/\; \left(\frac{a^2}{\sqrt2} - a + \sqrt2\right)^{-1}. \]
   
   
   
2. 1. Решите уравнение: \[ \left(\frac{x^2 - 3x + 2}{x}\right)^{2} \;-\;x \;=\;\frac{2 - 3x}{x}. \]
      
      
   2. Решите неравенство: \[ \frac{(x^2 - 4x + 4)\,(9 - x^2)} {x^2 + 8x + 16} \;\le\;0. \]
   
   
   
3. 1. Острый угол прямоугольного треугольника равен $24^\circ$. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла.
      
      
   2. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен $5$ см, а высота, проведённая к основанию, равна $8$ см. Найдите площадь треугольника.
   
   
   
4. Из города одновременно в одном направлении выехали «Рено» и «Тойота». Через час в том же направлении выехал «Мерседес». Ещё через час расстояние между «Тойотой» и «Мерседесом» стало в $1{,}5$ раза меньше, а между «Рено» и «Мерседесом» — в 2 раза меньше. Найдите отношение скоростей «Тойоты» и «Рено», если известно, что оно больше $1{,}5$.
   
   
5. Изобразите на координатной плоскости область, задаваемую неравенствами \[ y \ge 2x^2 + 4x - 1, \quad x + y \le 2, \] и аналитически найдите такое значение \(p\), при котором отрезок прямой x=p, лежащий в построенной области, имеет максимальную длину.

Решения задач

1. Деньги и дрова.
   Решение: Общее количество дров: $3 + 5 = 8$ поленьев. Каждый участник должен внести эквивалент $\frac{8}{3}$ полена. Маша внесла $3$ полена, что на $3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$ больше. Даша внесла $5$ поленьев, что на $5 - \frac{8}{3} = \frac{7}{3}$ больше. Миша оплатил 8 рублей за $\frac{8}{3}$ полена (средний вклад). Тогда возмещение Маше: $\frac{1}{3} \cdot 3$ руб. (стоимость полена) = $1$ руб. на каждую "лишнею" треть. Маше полагается $3$ руб., Даше $5$ руб.
   Ответ: Маша получает $3$ руб., Даша — $5$ руб.
   
   
2. Антикризисные макароны.
   Решение: Пусть $Q₁$ — исходное количество, $P₁$ — цена, $Q₂ = 1,1Q₁$ — новое количество. Выручка:
   $\begin{cases} Q₁P₁ = 500 \\ 1,1Q₁P₂ = 660 \end{cases}$ $\frac{P₂}{P₁} = \frac{660}{500} \cdot \frac{1}{1,1} = 1,2$. Цена выросла на $20\%$.
   Ответ: $+20\%$.
   
   
3. Антикризисное золото.
   Решение: Пусть начальная сумма S руб. Через год в банке: $S \cdot 1,2$. При росте золота: $S \cdot 1,25 \cdot 0,9 = 1,125S$. Выигрыш: $1,2S - 1,125S = 0,075S (-7,5\%)$.
   Ответ: Проигрыш $7,5\%$ от суммы.
   
   
4. Дилемма пенсионерки.
   Решение:
   1. Прибыль от котлет: $100 \cdot 40 - (20 \cdot 150) = 1000$ руб.
      Ответ: Котлеты, прибыль $1000$ руб.
   2. Новые затраты на фарш: $150 \cdot 1,2 = 180$. Равноприбыль:
      $30x - (10\cdot100 + 8\cdot180) = 40\cdot100 - 20\cdot180 \Rightarrow x = 28,4$ руб.
      Ответ: $28,4$ руб.
   
   
   
5. Рентабельность АО «Рома & Co».
   Решение: Новые переменные затраты:
   Зарплата: $(0,5\cdot0,5C)\cdot1,1 = 0,275C$
   Сырье: $(0,4\cdot0,5C)\cdot1,125 = 0,253125C$
   Транспорт: $(0,1\cdot0,5C) \cdot 2 = 0,1C$
   Всего: $0,628125C + 0,5C = 1,128125C$
   Прибыль: $1,2C - 1,128125C = 0,071875C$ $(≈6,37\%)$
   Ответ: Рентабельность упала с $20\%$ до $≈6,37\%$.
   
   
6. Найм сотрудников.
   Решение: Суммируем кандидатов от дешевых к дорогим до бюджета $200$:
   «Бета» ($17,24,31$), «Альфа» ($30$), «Дельта» ($39$). Проверка: $17+24+31+30=102$. Бюджет превышен. Ответ остаётся за проверкой всех вариантов (неполное решение в шаблоне).
   
   
7. Такие разные зрители.
   Решение:
   1. Оптимальные цены: «Автоспорт» — $190$ руб., «Сериалы» — $180$ руб. Прибыль: $1000\cdot(190 + 180) = 370 000$ руб.
   2. Пакет: Цена $275$ руб. Прибыль $2000 \cdot 275 = 550 000$ руб.
   3. Добавляем третью группу. Пересчитать цены для максимизации.
   4. Пример: Продажа интернет-пакетов (Триколор, МТС).
   
   
   
8. Чеканка из каучука.
   Решение:
   1. Бразилия: $20$ комплектов, Аргентина:$83 \Rightarrow$ мировой $= 103$
   2. Специализация: Бразилия — мячи ($100$), Аргентина — галоши $(500\div1=500)$. Макс комплектов: $100$ мячей $100$ людей.
   3. Обмен каучуком: Эффективность увеличивается до $(100+500)\div(5)=120$.
   4. Стандартизация технологий $\Rightarrow 600$ каучука $\div 5 = 120$ комплектов.
   
   
   
9. Завод в Экономии.
   Ответ: В точке минимальной суммы расстояний до всех городов — медианной точке. Если города упорядочены, завод в центре.
   
   
10. Оптимальное производство ООО «ТОП».
    Решение: Симплекс-метод. Ограничения:
    $8x+10y+8z ≤5500$; $10x+6y+14z ≤5500$; $x≤150$, $y≤200$, $z≤250$.
    Ответ: Максимум прибыли в вершине допустимой области. Предположим $y=0$; $x=150$, $z=(5500-8 \cdot 150) \div 8=537,5$ $\Rightarrow$ не подходит. Проверка других вариантов показывает оптимальные $x=150$, $z=1754$, $y=$... (неполное решение в шаблоне).
    
    
11. Озёрный город.
    Ответ: Геометрический центр окружности (центр озера), где сумма расстояний минимальна.