Лицей №146 из 9 в 10 класс 2014 вариант 2

1. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{\sqrt{a^3}+1}{a-1} - \frac{a}{\sqrt{a}+1} - \frac{1}{\sqrt{a}-1}\biggr) \;\cdot\;\bigl(1 + a^{-0.5}\bigr)^{-1}. \]
   
   
2. Решите уравнение \[ \sqrt{x^2 - 4x + 4} \;+\;\bigl(\sqrt{1 - x^2}\bigr)^{2} = 1. \]
   
   
3. Решите неравенство \[ \frac{\lvert x\rvert + 2x - 3}{x^2 - 7x + 6} \;\le\; 0. \]
   
   
4. Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если первые два оставить без изменения, а к третьему прибавить сумму первых двух, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой геометрической прогрессии.
   
   
5. Постройте график функции \[ y = \frac{(x-1)\,(x+1)\,(x+3)}{x+1} \quad(x \neq -1) \] и найдите все прямые, проходящие через начало координат, которые имеют с этим графиком ровно одну общую точку. Запишите их уравнения.
   
   
6. В окружность радиуса $10$ вписан треугольник, одна сторона которого равна $10$, а другая — $10\sqrt3$. Найдите площадь этого треугольника.
   
   
7. В параллелограмме $ABCD$ задано $AD = 28$, а высота, опущенная на сторону $AB$, равна $14$. Найдите $\sin\angle B$.
   
   
8. По кругу в некотором порядке по одному разу записаны числа от 10 до 21. Для каждой из двенадцати пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель. Могло ли получиться так, что все эти НОД:
   1. равны единице?
   2. попарно различны?

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{\sqrt{a^3}+1}{a-1} - \frac{a}{\sqrt{a}+1} - \frac{1}{\sqrt{a}-1}\biggr) \;\cdot\;\bigl(1 + a^{-0.5}\bigr)^{-1}. \] Решение: Рассмотрим выражение по частям. Сначала упростим числитель первой дроби: \[ \sqrt{a^3} + 1 = a^{1.5} + 1 = (\sqrt{a})^3 + 1^3 = (\sqrt{a} + 1)(a - \sqrt{a} + 1). \] Знаменатель первой дроби: \( a - 1 = (\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1) \). Тогда: \[ \frac{\sqrt{a^3} + 1}{a - 1} = \frac{(\sqrt{a} + 1)(a - \sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} = \frac{a - \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1}. \] Приведем оставшиеся дроби к общему знаменателю \( (\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1) \): \[ \frac{a}{\sqrt{a} + 1} = \frac{a(\sqrt{a} - 1)}{(\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} - 1)}; \quad \frac{1}{\sqrt{a} - 1} = \frac{\sqrt{a} + 1}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}. \] После объединения всех слагаемых получим: \[ \frac{a - \sqrt{a} + 1 - a\sqrt{a} + a - \sqrt{a} - 1}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} = \frac{-a\sqrt{a} + 2a - 2\sqrt{a}}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}. \] Домножив на \( (1 + a^{-0.5})^{-1} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} \), окончательно упрощаем до: \[ \sqrt{a}. \] Ответ: \(\sqrt{a}\).
   
   
2. Решите уравнение \[ \sqrt{x^2 - 4x + 4} + (\sqrt{1 - x^2})^{2} = 1. \] Решение: Преобразуем выражения: \[ \sqrt{(x-2)^2} + (1 - x^2) = 1 \quad \Rightarrow \quad |x - 2| + 1 - x^2 = 1. \] Упрощаем: \[ |x - 2| = x^2. \] Рассмотрим два случая:
   1. \( x \ge 2 \): \( x - 2 = x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x + 2 = 0 \). Корней нет (\( D < 0 \)).
   2. \( x < 2 \): \( 2 - x = x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x - 2 = 0 \). Корни: \( x = 1 \), \( x = -2 \). Проверяем соответствие ОДЗ (\( |x| \le 1 \)). Подходит \( x = 1 \).
   Ответ: 1.
   
   
3. Решите неравенство \[ \frac{\lvert x\rvert + 2x - 3}{x^2 - 7x + 6} \le 0. \] Решение:
   • Корни знаменателя: \( x = 1 \), \( x = 6 \).
   • Числитель: \( |x| + 2x - 3 = \begin{cases} 3x - 3, & x \ge 0 \\ -x - 3, & x < 0 \end{cases} \).
   • Анализ на интервалах:
     • \( x 0, знаменатель >0 → положительно.
     • \( 0 \le x < 1 \): Числитель \( 3x -3 <0\), знаменатель положительный → отрицательно.
     • \( 1 < x 0\), знаменатель отрицательный → отрицательно.
     • \( x >6 \): Числитель и знаменатель положительные → положительно.
   • Решение: \( x \in [0;1) \cup (1;6) \).
   Ответ: \( x \in [0;1) \cup (1;6) \).
   
   
4. Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если первые два оставить без изменения, а к третьему прибавить сумму первых двух, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой геометрической прогрессии. Решение: Пусть члены АП: \( a \), \( a+d \), \( a+2d \). После изменения: \( a \), \( a+d \), \( 3a +3d \). По свойству ГП: \[ \frac{a+d}{a} = \frac{3a+3d}{a+d} \quad \Rightarrow \quad (a+d)^2 = 3a(a+d). \] Упрощаем: \( (a+d)(a + d - 3a) = 0 \quad \Rightarrow \quad d(2d - 2a) = 0 \).
   • Если \( d =0 \): ГП становится \(a, a, 3a\) → знаменатель 1, но требуется уникальность членов → не подходит.
   • \( 2d -2a =0 \quad \Rightarrow \quad d =a \). Тогда ГП: \( a, 2a, 6a \). Знаменатель \( 3 \).
   Ответ: 3.
   
   
5. Постройте график функции \[ y = \frac{(x-1)(x+1)(x+3)}{x+1} \quad (x \neq -1). \] Упрощаем: \( y = (x-1)(x+3) = x^2 +2x -3 \). График — парабола с выколотой точкой при \( x = -1 \). Уравнение прямой через начало координат: \( y =kx \). Условие пересечения: \[ kx = x^2 +2x -3 \quad \Rightarrow \quad x^2 + (2 -k)x -3 =0. \] Для единственного решения дискриминант равен нулю: \[ (2 -k)^2 +12 =0 \quad \Rightarrow \quad k =2 \pm \sqrt{13}. \] Проверка на попадание \( x = -1 \): подстановка \( x =-1 \) в исходное уравнение приводит к невозможности. Таким образом, прямые: \[ y = (2 + \sqrt{13})x, \quad y = (2 - \sqrt{13})x. \] Ответ: \( y = (2 \pm \sqrt{13})x \).
   
   
6. В окружность радиуса 10 вписан треугольник, одна сторона которого равна 10, а другая — \(10\sqrt3\). Найдите площадь этого треугольника. Решение: Теорема синусов для треугольника радиусом \( R =10 \): \[ \frac{a}{\sin A} = 2R \quad \Rightarrow \quad \sin A = \frac{10}{20} =0.5 \quad \Rightarrow \quad A =30^\circ. \] Для стороны \(10\sqrt3\): \[ \sin B = \frac{10\sqrt3}{20} = \frac{\sqrt3}{2} \quad \Rightarrow \quad B =60^\circ. \] Третий угол \( C =90^\circ \). Тогда площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot10 \cdot10\sqrt3 =50\sqrt3. \] Ответ: 50\(\sqrt3\).
   
   
7. В параллелограмме \(ABCD\), \(AD =28 \), высота к \(AB\) равна 14. Найдите \(\sin \angle B\). Решение: Высота к \(AB\): \( h_{AB} =14 = BC \cdot \sin \angle B \). Площадь параллелограмма: \[ AB \cdot h_{AB} = AD \cdot h_{AD}. \] Высота \( h_{AD} = \frac{AB \cdot14}{28} = \frac{AB}{2} \). С другой стороны: \[ h_{AD} = AB \cdot \sin \angle B \quad \Rightarrow \quad \sin \angle B = \frac{h_{AD}}{AB} = \frac{1}{2}. \] Ответ: 0.5.
   
   
8. Вероятность НОД:
   1. Все НОД равны единице: Не может. Среди чисел есть чётные, например 10 и 12. Их НОД ≥2.
   2. Все НОД попарно различны: Да. Максимальный НОД двух чисел ≤10 (например, НОД(20,10)=10). Возможны значения 1,2,…,10. Всего 12 пар → ≥2 повторений. Ответ: Нет.
   Ответ: а) Нет; б) Нет.