Лицей №146 из 9 в 10 класс 2014 вариант 1

1. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{a^2 + 4}{a^3 + 2\sqrt2} - \frac{1}{a + \sqrt2}\biggr) \;\div\; \biggl(a^2/\sqrt2 - a + \sqrt2\biggr)^{-1}. \]
   
   
2. Решите уравнение \[ \sqrt{x^2 - 6x + 9} \;+\;\bigl(\sqrt{4 - x^2}\bigr)^{2} = 1. \]
   
   
3. Решите неравенство \[ \frac{\lvert x + 3\rvert - 2}{x^2 + 8x + 15} \;\ge\; 0. \]
   
   
4. Пять различных чисел составляют арифметическую прогрессию. Если удалить её второй и третий члены, то три оставшихся числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите её знаменатель.
   
   
5. Постройте график функции \[ y = \frac{(x+1)\,(x^2 - 4x + 3)}{x - 1} \] и найдите все прямые, проходящие через начало координат, которые имеют с этим графиком ровно одну общую точку. Запишите их уравнения.
   
   
6. В окружность радиуса 6 вписан треугольник, одна сторона которого равна 6, а другая — $6\sqrt3$. Найдите площадь этого треугольника.
   
   
7. В параллелограмме \(ABCD\) \(AD = 25\), а высота, опущенная на сторону \(AB\), равна 20. Найдите синус угла \(B\).
   
   
8. По кругу в некотором порядке по одному разу записаны числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель. Могло ли получиться так, что все эти наибольшие общие делители:
   1. равны единице?
   2. попарно различны?

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{a^2 + 4}{a^3 + 2\sqrt2} - \frac{1}{a + \sqrt2}\biggr) \;\div\; \biggl(a^2/\sqrt2 - a + \sqrt2\biggr)^{-1}. \] Решение: Разложим знаменатель первой дроби как сумму кубов: $a^3 + 2\sqrt2 = (a + \sqrt2)(a^2 - a\sqrt2 + (\sqrt2)^2)$. Преобразуем выражение в числителе: $\frac{a^2 + 4}{(a + \sqrt2)(a^2 - a\sqrt2 + 2)} - \frac{1}{a + \sqrt2} = \frac{a^2 + 4 - (a^2 - a\sqrt2 + 2)}{(a + \sqrt2)(a^2 - a\sqrt2 + 2)} = \frac{a\sqrt2 + 2}{(a + \sqrt2)(a^2 - a\sqrt2 + 2)}$. Упростим выражение во второй скобке: $\frac{a^2}{\sqrt2} - a + \sqrt2 = \frac{a^2 - a\sqrt2 + 2}{\sqrt2}$. Перемножая упрощенные части, получаем: $\frac{a\sqrt2 + 2}{(a + \sqrt2)(a^2 - a\sqrt2 + 2)} \cdot \frac{\sqrt2}{a^2 - a\sqrt2 + 2} = \frac{\sqrt2(a\sqrt2 + 2)}{(a + \sqrt2)(a^2 - a\sqrt2 + 2)^2} = 2$. Ответ: $\boxed{2}$.
2. Решите уравнение: \[ \sqrt{x^2 - 6x + 9} \;+\;\bigl(\sqrt{4 - x^2}\bigr)^{2} = 1. \] Решение: Упростим уравнение: $\sqrt{(x - 3)^2} + (4 - x^2) = 1 \Rightarrow |x - 3| + 4 - x^2 = 1$. Учитывая область определения $\sqrt{4 - x^2}$, получаем $x \in [-2, 2]$. Так как $x \leq 2$, модуль раскрывается как $3 - x$: $3 - x + 4 - x^2 = 1 \Rightarrow -x^2 - x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0$. Корни: $x = 2$ и $x = -3$ (посторонний корень). Ответ: $\boxed{2}$.
3. Решите неравенство: \[ \frac{\lvert x + 3\rvert - 2}{x^2 + 8x + 15} \;\ge\; 0. \] Решение: Разложим знаменатель: $x^2 + 8x +15 = (x + 3)(x + 5)$. Рассмотрим выражение в числителе $\lvert x + 3\rvert - 2$. Случай 1: $x \geq -3$: $\frac{x + 1}{(x + 3)(x + 5)} \geq 0$. Решение: $x \in [-1, \infty) \setminus \{-3\}$. Случай 2: $x 0$. Решение: $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, -3)$. Объединяя оба случая: Ответ: $\boxed{(-\infty, -5) \cup (-5, -3) \cup [-1, \infty)}$.
4. Пять различных чисел составляют арифметическую прогрессию. Если удалить её второй и третий члены, то три оставшихся числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите её знаменатель. Решение: Пусть исходная прогрессия: $a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ a+4d$. После удаления остаётся $a,\ a+3d,\ a+4d$. Составляем отношение: $\frac{a + 3d}{a} = \frac{a + 4d}{a + 3d}$. Преобразуем: $(a + 3d)^2 = a(a + 4d) \Rightarrow d(2a + 9d) = 0$. При $d \neq 0$: $2a + 9d = 0 \Rightarrow a = -\frac{9d}{2}$. Знаменатель геометрической прогрессии: $\frac{a + 3d}{a} = \frac{-\frac{9d}{2} + 3d}{-\frac{9d}{2}} = \frac{-\frac{3d}{2}}{-\frac{9d}{2}} = \frac{1}{3}$. Ответ: $\boxed{\dfrac{1}{3}}$.
5. Постройте график функции: \[ y = \frac{(x+1)\,(x^2 - 4x + 3)}{x - 1} \] Функция упрощается до $y = (x+1)(x-3)$ при $x \neq 1$, точка разрыва: $(1, -4)$. Прямые, проходящие через начало координат и пересекающие график в одной точке, определяются уравнением $y = -4x$, пересекающей параболу $y = x^2 - 2x - 3$ только в точке $x = -3$. Ответ: $\boxed{y = -4x}$.
6. В окружность радиуса 6 вписан треугольник, одна сторона которого равна 6, а другая — $6\sqrt3$. Найдите площадь этого треугольника. Решение: Используем теорему синусов: $6 = 12 \sin A \Rightarrow \sin A = 0.5 \Rightarrow A = 30^\circ$. $6\sqrt3 = 12 \sin B \Rightarrow \sin B = \frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow B = 60^\circ$. Третья сторона: $c = 12 \sin 90^\circ = 12$. Площадь: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt3 = \boxed{18\sqrt3}$.
7. В параллелограмме \(ABCD\) \(AD = 25\), а высота, опущенная на сторону \(AB\), равна 20. Найдите синус угла \(B\). Решение: Высота, опущенная на \(AB\), равна $h_{AB} = 20$. Площадь параллелограмма: $AB \cdot h_{AB} = AD \cdot AB \cdot \sin B$. $\sin B = \frac{h_{AB}}{AD} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$. Ответ: $\boxed{\dfrac{4}{5}}$.
8. Ответы на вопрос:
   1. Не могло: наличие двух чётных чисел гарантирует их соседство хотя бы в одной паре с НОД $\geq 2$. Ответ: $\boxed{\text{Нет}}$.
   2. Могло: существуют уникальные НОД для каждой пары чисел от 9 до 18. Например, последовательность можно составить с использованием всех взаимно простых пар. Ответ: $\boxed{\text{Да}}$.