Лицей №146 из 7 в 8 класс 2024 год вариант 2

1. Решите уравнение: \[ \frac{x+3}{12} - \frac{x-3}{4} = \frac{x+2}{6}. \]
2. Вычислите: \[ \frac{3^{15}\cdot4^{13}}{144^7}. \]
3. Найдите значение выражения \[ (3 - b)(3 + b)(9 + b^2) + (4 + b^2)^2 \] при \(b = \tfrac12\).
4. В треугольнике \(PQR\) биссектрисы \(PA\) и \(QB\) пересекаются в точке \(C\). Найдите угол \(R\) треугольника, если \(\angle PCB = 60^\circ\).
5. При каком значении \(k\) график функции \(y = kx - 4\) проходит через точку \(B(14; -32)\)?
6. Сколько различных четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 (цифры могут повторяться)?
7. Разность двух чисел равна 12. Найдите эти числа, если \(\tfrac{2}{5}\) первого числа равны \(\tfrac{4}{7}\) второго. В ответе укажите большее число.
8. Решите уравнение \(\lvert x \rvert + \lvert 5 \rvert = 8\). В ответе укажите произведение корней.
9. Решите уравнение \(x^2 + 2x^2 - 36x - 72 = 0\). В ответе укажите меньший корень.
10. В треугольнике \(PQR\), \(\angle R = 90^\circ\), а внешний угол при вершине \(Q\) равен \(150^\circ\). Найдите \(PR\), если \(PQ + PR = 6\).

1. В школе $80\%$ учащихся занимаются спортом. $60\%$ из них увлекаются игровыми видами спорта, остальные $40\%$ – лёгкой атлетикой. Общее число легкоатлетов – 200. Сколько учащихся в школе?
2. У Юли есть 4 карточки с цифрами 4, 5, 6 и 7. Она составляет из них разные числа. Сколько различных чисел, делящихся на 6, может составить Юля?
3. Какова сумма цифр числа \(10^{16} - 146\)?
4. Решите уравнение \(x^2 + 4x + 4 + |x| + 2x = 0\).
5. Паша делит чётное число пополам, а нечётное увеличивает на 7. За три шага Паша из нечётного числа получил число 19. Найдите n.
6. Сколько существует двузначных чисел, которые при перестановке цифр увеличиваются не менее, чем в 4 раза?
7. В секции фигурного катания занимаются 21 человек. Известно, что ни у каких двух мальчиков количество друзей-девочек из этого секции не совпадает. Какое наибольшее количество мальчиков может быть в этой секции?
8. Четыре мальчика коллекционируют модели автомобилей. Всего у них \(146\) моделей, у каждого не менее \(20\). У первого моделй больше всех, второго и третьего вместе имеют \(83\) модели. Сколько у первого?
9. На какую наибольшую степень двойки делится число \(12^{146} + 2^{146}\)? В ответе укажите показатель этой степени.
10. В июне прошлого года количество солнечных дней в Перми составляло $25\%$ от количества пасмурных, а количество тёплых дней – $20\%$ от количества прохладных. Только 3 дня в июне были тёплыми и солнечными. Сколько дней были пасмурными и прохладными?

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{x+3}{12} - \frac{x-3}{4} = \frac{x+2}{6} \] Решение: Умножим обе части уравнения на 12: \[ (x+3) - 3(x-3) = 2(x+2) \] Раскроем скобки и упростим: \[ x + 3 - 3x + 9 = 2x + 4 \\ -2x + 12 = 2x + 4 \\ -4x = -8 \\ x = 2 \] Ответ: 2.
2. Вычислите: \[ \frac{3^{15} \cdot 4^{13}}{144^7} \]
   Решение: Представим 144 как \(12^2 = 3^2 \cdot 4^2\): \[ \frac{3^{15} \cdot 4^{13}}{(3^2 \cdot 4^2)^7} = \frac{3^{15} \cdot 4^{13}}{3^{14} \cdot 4^{14}} = \frac{3^{15-14} \cdot 4^{13-14}}{1} = 3 \cdot 4^{-1} = \frac{3}{4} \] Ответ: \(\frac{3}{4}\).
3. Найдите значение выражения: \[ (3 - b)(3 + b)(9 + b^2) + (4 + b^2)^2 \] при \(b = \tfrac{1}{2}\).
   Решение: Упростим выражение: \[ (9 - b^2)(9 + b^2) + (4 + b^2)^2 = 81 - b^4 + 16 + 8b^2 + b^4 = 97 + 8b^2 \] Подставим \(b = \tfrac{1}{2}\): \[ 97 + 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 97 + 2 = 99 \] Ответ: 99.
4. В треугольнике \(PQR\) биссектрисы \(PA\) и \(QB\) пересекаются в точке \(C\). Найдите угол \(R\) треугольника, если \(\angle PCB = 60^\circ\).
   Решение: Точка \(C\) — инцентр треугольника. Сумма углов при инцентре: \[ \angle PCB = \frac{1}{2}(\angle P + \angle Q) = 60^\circ \\ \angle P + \angle Q = 120^\circ \\ \angle R = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] Ответ: \(60^\circ\).
5. При каком значении \(k\) график функции \(y = kx - 4\) проходит через точку \(B(14; -32)\)?
   Решение: Подставим координаты точки: \[ -32 = 14k - 4 \\ 14k = -28 \\ k = -2 \] Ответ: \(-2\).
6. Сколько различных четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 (цифры могут повторяться)?
   Решение: Каждая из 4 позиций может быть заполнена 5 цифрами: \[ 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 = 625 \] Ответ: 625.
7. Разность двух чисел равна 12. Найдите эти числа, если \(\tfrac{2}{5}\) первого числа равны \(\tfrac{4}{7}\) второго. В ответе укажите большее число.
   Решение: Пусть первое число \(x\), второе \(x - 12\): \[ \frac{2}{5}x = \frac{4}{7}(x - 12) \\ 14x = 20(x - 12) \\ -6x = -240 \\ x = 40 \] Ответ: 40.
8. Решите уравнение \(\lvert x \rvert + \lvert 5 \rvert = 8\). В ответе укажите произведение корней. Решение: \[ |x| + 5 = 8 \\ |x| = 3 \\ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3 \\ \text{Произведение: } 3 \cdot (-3) = -9 \] Ответ: \(-9\).
9. Решите уравнение \(x^2 + 2x^2 - 36x - 72 = 0\). В ответе укажите меньший корень.
   Решение: Объединим слагаемые: \[ 3x^2 - 36x - 72 = 0 \\ x^2 - 12x - 24 = 0 \\ D = 144 + 96 = 240 \\ x = \frac{12 \pm \sqrt{240}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{15} \] Меньший корень: \(6 - 2\sqrt{15}\). Ответ: \(6 - 2\sqrt{15}\).
10. В треугольнике \(PQR\), \(\angle R = 90^\circ\), а внешний угол при вершине \(Q\) равен \(150^\circ\). Найдите \(PR\), если \(PQ + PR = 6\).
    Решение: Внешний угол при \(Q\) равен \(150^\circ \Rightarrow \angle Q = 30^\circ\).
    В прямоугольном треугольнике: \[ PR = \frac{1}{2}PQ \\ PQ + \frac{PQ}{2} = 6 \\ \frac{3PQ}{2} = 6 \\ PQ = 4 \\ PR = 2 \] Ответ: 2.
11. В школе 80% учащихся занимаются спортом. 60% из них увлекаются игровыми видами спорта, остальные 40% — лёгкой атлетикой. Общее число легкоатлетов — 200. Сколько учащихся в школе?
    Решение: Пусть всего \(x\) учащихся: \[ 0.8x \cdot 0.4 = 200 \\ 0.32x = 200 \\ x = \frac{200}{0.32} = 625 \] Ответ: 625.
12. У Юли есть 4 карточки с цифрами 4, 5, 6 и 7. Она составляет из них разные числа. Сколько различных чисел, делящихся на 6, может составить Юля?
    Решение: Сумма цифр 4+5+6+7=22 не делится на 3. Число делится на 6 только если сумма цифр делится на 3 и последняя цифра чётная. Нет возможных комбинаций.
    Ответ: 0.
13. Какова сумма цифр числа \(10^{16} - 146\)?
    Решение: \[ 10^{16} = 1\underbrace{000\ldots000}_{16 \text{ нулей}} \\ 10^{16} - 146 = \underbrace{999\ldots999}_{13 \text{ девяток}}854 \\ \text{Сумма: }13 \cdot 9 + 8 + 5 + 4 = 117 + 17 = 134 \] Ответ: 134.
14. Решите уравнение \(x^2 + 4x + 4 + |x| + 2x = 0\).
    Решение: Для \(x \geq 0\): \[ x^2 + 6x + 4 = 0 \quad \text{(нет корней)} \] Для \(x < 0\): \[ x^2 + 5x + 4 = 0 \\ x = -1 \quad \text{или} \quad x = -4 \] Ответ: \(-4\), \(-1\).
15. Паша делит чётное число пополам, а нечётное увеличивает на 7. За три шага Паша из нечётного числа получил число 19. Найдите \(n\).
    Решение: Обратный расчёт: \[ 19 \stackrel{Шаг3}{\leftarrow} 38 \stackrel{Шаг2}{\leftarrow} 76 \stackrel{Шаг1}{\leftarrow} 69 \] Ответ: 69.
16. Сколько существует двузначных чисел, которые при перестановке цифр увеличиваются не менее, чем в 4 раза?
    Решение: Для числа \(XY\) (\(X = 1\)): \[ 10Y + X \geq 4(10X + Y) \\ 6Y \geq 39X \\ 2Y \geq 13X \Rightarrow X = 1, Y \geq 7 \] Подходят числа: 17, 18, 19.
    Ответ: 3.
17. В секции фигурного катания занимаются 21 человек. Ни у каких двух мальчиков количество друзей-девочек не совпадает. Какое наибольшее количество мальчиков может быть в этой секции?
    Решение: Девочек \(G\), мальчиков \(B = 21 - G\). Максимальное количество мальчиков: \[ B \leq G + 1 \Rightarrow 21 - G \leq G + 1 \Rightarrow G \geq 10 \\ B = 21 - 10 = 11 \] Ответ: 11.
18. Четыре мальчика коллекционируют модели автомобилей. Всего у них \(146\) моделей, у каждого не менее \(20\). У первого моделей больше всех, второго и третьего вместе имеют \(83\) модели. Сколько у первого?
    Решение: Пусть первый имеет \(A\) моделей, второй и третий вместе \(83\), четвёртый \(D\): \[ A + D = 63 \\ D \geq 20 \Rightarrow A \leq 43 \\ A \text{ максимально при } A = 43, D = 20 \] Ответ: 43.
19. На какую наибольшую степень двойки делится число \(12^{146} + 2^{146}\)? В ответе укажите показатель этой степени.
    Решение: Вынесем \(2^{146}\): \[ 12^{146} + 2^{146} = 2^{146}(3^{146} \cdot 2^{146} + 1) \\ \nu_2(3^{146} + 1) = 1 \Rightarrow \nu_2 = 146 + 1 = 147 \] Ответ: 147.
20. В июне прошлого года количество солнечных дней в Перми составляло 25% от количества пасмурных, а количество тёплых дней — 20% от количества прохладных. Только 3 дня в июне были тёплыми и солнечными. Сколько дней были пасмурными и прохладными?
    Решение: Пусть солнечных дней \(S = 6\), пасмурных \(Па = 24\). Тёплых \(Т = 5\), прохладных \(Х = 25\): \[ Пасмурные \text{ и } прохладные = 24 - 2 = 22 \] Ответ: 22.