Лицей №146 из 7 в 8 класс 2020 вариант 2

1. Оля пришла из школы в ужасном настроении и съела $\tfrac16$ части конфет, лежащих в вазе. Затем пришла с вида вполне приличного Женя и съела $\tfrac15$ части оставшихся конфет. Последним пришёл скромный Сергей и съел половину того, что ещё осталось. Какая часть конфет (от исходного количества) уцелела?
2. Вычислите: \[ \frac{\bigl(15\cdot5^5 - 25^4\bigr)\cdot256}{4\cdot10^{10}}. \]
3. Какой цифрой оканчивается сумма $146^{2019} + 2019^{146}$?
4. Решите уравнение \[ x^3 + 8 = 2x(x + 2). \] В ответе запишите сумму его корней.
5. Тело белого медведя Чарли на $65\%$ состоит из воды. Во время купания шерсть намокает, после чего вода составляет $72\%$ веса Чарли, а сам Чарли весит 700 кг. Какой вес был у Чарли до купания?
6. Даны два отрезка с длинами 7 см и 3 см. Сколько различных треугольников можно составить с этими отрезками, если известно, что длина третьей стороны выражается целым числом сантиметров?
7. Графики функций $y = x - 4$ и $y = k - 2x$ пересекаются в точке с ординатой $-2$. Найдите число $k$.
8. В равнобедренном треугольнике $PQR$ с основанием $PR$ высота $RT = 7$. Найдите угол $\angle PQR$, если $PQ = 14$.
9. На день рождения Карлсону подарили мешок с конфетами: шоколадными и карамельками. Всего конфет в мешке было меньше 100, причём соотношение шоколадных и карамелек было $9:7$. Карлсон сразу же съел $25\%$ всех конфет, причём $20\%$ из них составляли карамельки. Сколько карамелек осталось в мешке?
10. Известно, что $f(x) = x^2 + 1$. Решите уравнение \[ f(x - 4) = f(x) - 4. \]

Решения задач

1. Оля пришла из школы в ужасном настроении и съела $\tfrac{1}{6}$ части конфет, лежащих в вазе. Затем пришла Женя и съела $\tfrac{1}{5}$ части оставшихся конфет. Последним пришёл Сергей и съел половину того, что ещё осталось. Какая часть конфет уцелела?
   Решение:
   После Оли осталось: $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ конфет.
   Женя съел: $\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$. Осталось: $\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$.
   Сергей съел: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Осталось: $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.
   Ответ: $\frac{1}{3}$.
   
   
2. Вычислите: \[ \frac{\bigl(15\cdot5^5 - 25^4\bigr)\cdot256}{4\cdot10^{10}}. \]
   Решение:
   $25^4 = (5^2)^4 = 5^8$, $15 \cdot 5^5 = 3 \cdot 5 \cdot 5^5 = 3 \cdot 5^6$.
   $15 \cdot 5^5 - 25^4 = 3 \cdot 5^6 - 5^8 = 5^6(3 - 5^2) = 5^6(-22)$.
   Числитель: $-22 \cdot 5^6 \cdot 256 = -22 \cdot 5^6 \cdot 2^8$.
   Знаменатель: $4 \cdot (2 \cdot 5)^{10} = 2^{12} \cdot 5^{10}$.
   Сокращение: $\frac{-22 \cdot 2^8}{2^{12} \cdot 5^4} = \frac{-22}{2^4 \cdot 5^4} = \frac{-22}{10000} = -0,0022$.
   Ответ: $-0,0022$.
   
   
3. Какой цифрой оканчивается сумма $146^{2019} + 2019^{146}$?
   Решение:
   Последняя цифра $146^{2019}$: так как $6^n$ всегда оканчивается на 6.
   Последняя цифра $2019^{146}$: так как $9^{2k}$ оканчивается на 1 ($146$ чётное).
   $6 + 1 = 7$.
   Ответ: $7$.
   
   
4. Решите уравнение $x^3 + 8 = 2x(x + 2)$. В ответе запишите сумму его корней.
   Решение:
   $x^3 + 8 - 2x^2 - 4x = 0$.
   Разложение: $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - 2x(x + 2) = 0$.
   $(x + 2)(x^2 - 4x + 4) = 0$.
   $(x + 2)(x - 2)^2 = 0$, корни: $x = -2$, $x = 2$ (кратность 2).
   Сумма корней: $-2 + 2 + 2 = 2$.
   Ответ: $2$.
   
   
5. Тело белого медведя Чарли на 65% состоит из воды. Во время купания шерсть намокает, после чего вода составляет 72% веса Чарли, а сам Чарли весит 700 кг. Найти исходный вес.
   Решение:
   Сухое вещество осталось неизменным: $0,35x = 0,28 \cdot 700 = 196$ кг.
   $x = \frac{196}{0,35} = 560$ кг.
   Ответ: $560$ кг.
   
   
6. Сколько различных треугольников можно составить с отрезками 7 см и 3 см, если третья сторона целая?
   Решение:
   По неравенству треугольника: $7 - 3 < a < 7 + 3$.
   Целые $a$: 5, 6, 7, 8, 9 см. Всего 5 вариантов.
   Ответ: $5$.
   
   
7. Графики функций $y = x - 4$ и $y = k - 2x$ пересекаются в точке с ординатой $-2$. Найти $k$.
   Решение:
   Подставляем $y = -2$ в первое уравнение: $x = 2$.
   Подставляем $x = 2$ во второе уравнение: $-2 = k - 4$.
   $k = 2$.
   Ответ: $2$.
   
   
8. В равнобедренном треугольнике $PQR$ с основанием $PR$ высота $RT = 7$ см, $PQ = 14$ см. Найти угол $\angle PQR$.
   Решение:
   Половина основания: $PT = \sqrt{PQ^2 - RT^2} = \sqrt{14^2 - 7^2} = 7\sqrt{3}$.
   Угол $\angle PQR$: $\cos\theta = \frac{PT}{PQ} = \frac{7\sqrt{3}}{14} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\theta = 30^\circ$.
   Ответ: $30^\circ$ (Исправление: ранее был получен угол 120°, но в решении ошибка — необходимо пересчитать.) Пересчитаем: В прямоугольном треугольнике QRT: $QR = 14$, $RT = 7$, значит $\angle QRT = 30^\circ$, тогда $\angle PQR = 180^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.
   Ответ: $120^\circ$.
   
   
9. В мешке меньше 100 конфет с соотношением 9:7. Карлсон съел 25% конфет, из них 20% — карамель. Сколько карамелек осталось?
   Решение:
   Общее число конфет $N$ кратно 16 и меньше 100: $N = 80$.
   Карамельки: $\frac{7}{16} \cdot 80 = 35$.
   Съедено карамелек: $0,2 \cdot \frac{80}{4} = 4$.
   Осталось: $35 - 4 = 31$.
   Ответ: $31$.
   
   
10. Решить уравнение $f(x - 4) = f(x) - 4$, где $f(x) = x^2 + 1$.
    Решение:
    $(x - 4)^2 + 1 = x^2 + 1 - 4$.
    $x^2 - 8x + 16 = x^2 - 3$.
    $-8x + 19 = -3$.
    $-8x = -20$.
    $x = 2,5$.
    Ответ: $2,5$.