Лицей №146 из 7 в 8 класс 2020 год вариант 1

1. Ужасный вирус уничтожает память компьютера. За первую секунду он справился с половиной памяти, за вторую — с $\tfrac13$ оставшейся части, за третью секунду — с четвертью того, что ещё осталось. И тут его настиг могучий антивирус. Какая часть памяти (от исходного количества) уцелела?
2. Вычислите: \[ \frac{\bigl(15\cdot3^8 - 9^5\bigr)\cdot343}{4\cdot6^4}. \]
3. Какой цифрой оканчивается число \[ 146^{2020} + 14^2\,? \]
4. Решите уравнение \[ x^3 - 8 = 2x(2 - x). \] В ответе запишите сумму его корней.
5. Даже тогда, когда верблюд Гоша хочет пить, $84\%$ его веса составляет вода. После того, как Гоша напьётся воды, его вес станет равным 800 кг, а вода будет составлять $85\%$ его веса. Сколько весит Гоша, когда испытывает жажду?
6. Даны два отрезка длиной 5 см и 2 см. Сколько различных треугольников можно составить с этими отрезками, если известно, что длина третьей стороны выражается целым числом сантиметров?
7. Графики функций $y = 2x + 4$ и $y = k - x$ пересекаются в точке с ординатой 2. Найдите число $k$.
8. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ и $\angle ABC = 30^\circ$ проведена высота $AH$. Найдите её длину, если $BC = 6$.
9. На день рождения Карлсону подарили мешок с конфетами: шоколадными и карамельками. Всего конфет в мешке было меньше 100, причём соотношение шоколадных и карамелек было $9:7$. Карлсон сразу же съел $20\%$ всех конфет, при этом $25\%$ из них составляли карамельки. Сколько карамелек осталось в мешке?
10. Известно, что $f(x) = x^2 - 1$. Решите уравнение \[ f(x+1) = f(x-2). \]

Решения задач

1. За первую секунду уничтожили $\frac{1}{2}$ памяти. Остаток: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
   За вторую — $\frac{1}{3}$ от остатка: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$, остаток: $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.
   За третью — $\frac{1}{4}$ от остатка: $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$, остаток: $\frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$.
   Ответ: $\frac{1}{4}$.
   
   
2. Упростим выражение: \[ \frac{(15 \cdot 3^8 - 9^5) \cdot 343}{4 \cdot 6^4} = \frac{6 \cdot 3^8 \cdot 7^3}{2^6 \cdot 3^4} = \frac{3^5 \cdot 7^3}{2^5} = \frac{243 \cdot 343}{32} = \frac{83349}{32}. \] Ответ: $\frac{83349}{32}$.
   
   
3. Последняя цифра $146^{2020}$ — 6 (так как любая степень числа, оканчивающегося на 6, оканчивается на 6).
   Последняя цифра $14^2$ — 6.
   Сумма $6 + 6 = 12$ ⇒ последняя цифра — 2.
   Ответ: $2$.
   
   
4. Уравнение: $x^3 - 8 = 2x(2 - x) \;\Rightarrow\; x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = 0$.
   Факторизуем: $(x - 2)(x + 2)^2 = 0$. Корни: $x = 2$, $x = -2$ (кратность 2). Сумма корней: $2 + (-2) + (-2) = -2$.
   Ответ: $-2$.
   
   
5. Пусть вес Гоши при жажде равен $W$. Тогда масса воды — $0,84W$, сухого вещества — $0,16W$. После питья масса воды стала: $0,85 \cdot 800 = 680$ кг.
   Сухое вещество осталось тем же: $0,16W = 0,15 \cdot 800 \;\Rightarrow\; W = \frac{120}{0,16} = 750$ кг.
   Ответ: $750$ кг.
   
   
6. Третья сторона $x$ удовлетворяет неравенству треугольника: $5 - 2 < x < 5 + 2 \;\Rightarrow\; x \in \{4, 5, 6\}$.
   Ответ: $3$ треугольника.
   
   
7. В точке пересечения ордината равна 2: \[ 2 = 2x + 4 \;\Rightarrow\; x = -1 \quad \text{и} \quad 2 = k - (-1) \;\Rightarrow\; k = 1. \] Ответ: $1$.
   
   
8. В равнобедренном треугольнике с основанием $AC$ и углом $B = 30^\circ$ площади равны: \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot AH \cdot \frac{1}{2} = \frac{3AH}{2}. \] С другой стороны: \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 9. \] Приравниваем: $\frac{3AH}{2} = 9 \;\Rightarrow\; AH = 6$ см.
   Ответ: $6$ см.
   
   
9. Пусть изначально шоколадных конфет $9x$, карамелек $7x$, всего $16x < 100 \;\Rightarrow\; x = 5 (16x = 80) $
   Съел $20\%$: $16 \cdot 0.2 = 16$ конфет, из них карамелей $4$.
   Осталось карамелек: $7x - 4 = 35 - 4 = 31$.
   Ответ: $31$.
   
   
10. Решаем уравнение: \[ (x+1)^2 - 1 = (x-2)^2 - 1 \;\Rightarrow\; x^2 + 2x = x^2 - 4x + 3 \;\Rightarrow\; 6x = 3 \;\Rightarrow\; x = 0.5. \] Сумма корней (единственного корня) — $0.5$.
    Ответ: $0.5$.