Лицей №146 из 7 в 8 класс 2019 год вариант 4

1. Вычислите: \[ 122 \;\cdot\; \biggl( \frac{15 - \frac{15}{11} - \frac{15}{224} - \frac{15}{56}} {5 - \frac{5}{11} - \frac{5}{224} - \frac{5}{56}} \;\div\; \frac{7 + \frac{7}{16} + \frac{7}{256} + \frac{7}{80}} {3 + \frac{3}{16} + \frac{3}{256} + \frac{3}{80}} \biggr) \;\cdot\; \frac{707707707}{549549549}. \]
   
   
2. В пятизначном числе \(x\), не делящемся на 10, убрали последнюю цифру и получили число \(y\). Найдите наибольшее значение дроби \(\tfrac{x}{y}\).
   
   
3. Велосипедист и пешеход одновременно двинулись навстречу друг другу. Велосипедист ехал в три раза быстрее, чем шёл пешеход, но после каждых двух километров останавливался на 30 минут подкачать колёса. Пешеход шёл без остановок. Через 3 часа они встретились ровно на середине пути, когда велосипедист только начал очередной перерыв. Найдите начальное расстояние между велосипедистом и пешеходом.
   
   
4. На основании \(PR\) равнобедренного треугольника \(KPR\) отмечена точка \(A\), а на боковой стороне \(KP\) — точка \(B\), причём \(KA = KB\). Известно, что \(\angle BAP = 30^\circ\). Найдите величину \(\angle RKA\).

Решения задач

1. Вычислите: \[ 122 \;\cdot\; \biggl( \frac{15 - \frac{15}{11} - \frac{15}{224} - \frac{15}{56}} {5 - \frac{5}{11} - \frac{5}{224} - \frac{5}{56}} \;\div\; \frac{7 + \frac{7}{16} + \frac{7}{256} + \frac{7}{80}} {3 + \frac{3}{16} + \frac{3}{256} + \frac{3}{80}} \biggr) \;\cdot\; \frac{707707707}{549549549}. \]
   Решение:
   Упростим выражение по частям. Заметим, что в числителе первой дроби:
   \(15\left(1 - \frac{1}{11} - \frac{1}{224} - \frac{1}{56}\right) = 15 \cdot \frac{220 - 20 - 1 - 4}{220} = 15 \cdot \frac{195}{220}\)
   Знаменатель первой дроби в 3 раза меньше числителя: \(5 = \frac{15}{3}\). Тогда первая дробь равна \(3\).
   Вторая дробь аналогично упрощается:
   Числитель: \(7 \cdot \left(1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{256} + \frac{1}{80}\right)\), знаменатель — $\frac{7}{3}$ раза меньше. Тогда дробь равна \(\frac{7}{3}\).
   Деление первой дроби на вторую: \(3 : \frac{7}{3} = \frac{9}{7}\).
   Теперь умножение:
   \(122 \cdot \frac{9}{7} \cdot \frac{707707707}{549549549}\)
   Заметим, что \(707707707 = 707 \cdot 1001001\), \(549549549 = 549 \cdot 1001001\). Сокращаем на \(1001001\):
   \(\frac{707}{549} = \frac{7 \cdot 101}{9 \cdot 61} = \frac{707}{549}\)
   Окончательно:
   \(122 \cdot \frac{9}{7} \cdot \frac{707}{549} = 122 \cdot \frac{9}{7} \cdot \frac{707}{549} = 122 \cdot \frac{707}{7 \cdot 61} = 122 \cdot \frac{101}{61} = 2 \cdot 101 = 202\).
   Ответ: $\boxed{202}$.
2. В пятизначном числе \(x\), не делящемся на 10, убрали последнюю цифру и получили число \(y\). Найдите наибольшее значение дроби \(\tfrac{x}{y}\).
   Решение:
   Число \(x\) можно представить как \(10y + a\), где \(a\) — последняя цифра (1–9). Тогда:
   \(\frac{x}{y} = 10 + \frac{a}{y}\).
   Максимум достигается при максимальном \(a=9\) и минимальном \(y\). Наименьшее четырехзначное \(y=1000\), тогда \(x=10009\):
   \(\frac{10009}{1000} = 10,009\).
   Проверка: Любой \(y < 1000\) не является четырехзначным числом, так как \(x\) пятизначно. Значит наибольшее значение равно \(10,009\).
   Ответ: $\boxed{10,009}$.
3. Велосипедист и пешеход одновременно двинулись навстречу друг другу. Велосипедист ехал в три раза быстрее, чем шёл пешеход, но после каждых двух километров останавливался на 30 минут подкачать колёса. Пешеход шёл без остановок. Через 3 часа они встретились ровно на середине пути, когда велосипедист только начал очередной перерыв. Найдите начальное расстояние между велосипедистом и пешеходом.
   Решение:
   Пусть скорость пешехода \(v\), тогда скорость велосипедиста \(3v\). Пусть \(S\) — начальное расстояние. Середина пути: \(\frac{S}{2}\). Пешеход прошёл \(\frac{S}{2} = 3v \Rightarrow v = \frac{S}{6}\).
   Велосипедист проехал \(\frac{S}{2}\) за \(k\) этапов по 2 км. Время движения на одном этапе: \(\frac{2}{3v} = \frac{2}{3 \cdot \frac{S}{6}} = \frac{4}{S}\) часов. Всего этапов \(k = \frac{S}{4}\). Время движения: \(k \cdot \frac{4}{S} = 1\) час. Перерывы: \(\left(k - 1\right) \cdot 0,5\) часов = \(2\) часа при \(k=5\). Общее время: \(1 + 2 = 3\) ч. Тогда \(S = 4k = 20\) км.
   Ответ: $\boxed{20}$.
4. На основании \(PR\) равнобедренного треугольника \(KPR\) отмечена точка \(A\), а на боковой стороне \(KP\) — точка \(B\), причём \(KA = KB\). Известно, что \(\angle BAP = 30^\circ\). Найдите величину \(\angle RKA\).
   Решение:
   Поскольку \(KA = KB\), треугольник \(KAB\) равнобедренный, \(\angle KBA = \angle KAB\). Пусть \(\angle BAP = 30^\circ\). Тогда \(\angle KAB = 30^\circ + \angle PAB\). Если провести высоту из \(K\) к \(PR\), то угол \(\angle RKA = 90^\circ - \angle PAB\). Из равенства треугольников получаем \(\angle RKA = 60^\circ\).
   Ответ: $\boxed{60^\circ}$.