Лицей №146 из 7 в 8 класс 2019 год вариант 3

1. Вычислите \[ 158 \;\cdot\; \biggl( \frac{ 12 - \frac{12}{7} - \frac{12}{289} - \frac{12}{85} }{ 4 - \frac{4}{7} - \frac{4}{289} - \frac{4}{85} } : \frac{ 5 + \frac{5}{13} + \frac{5}{169} + \frac{5}{91} }{ 6 + \frac{6}{13} + \frac{6}{169} + \frac{6}{91} } \biggr) \;\cdot\; \frac{505505505}{711711711}. \]
   
   
2. В пятизначном числе \(x\), не делящемся на 10, убрали последнюю цифру и получили число \(y\). Найдите наименьшее значение дроби \(\tfrac{x}{y}\).
   
   
3. Дед и внук вышли одновременно навстречу друг другу и шли с постоянными скоростями. Внук шёл без остановок, но в 2 раза медленнее деда. Дед же после каждых 2000 м отдыхал 30 мин. Через 3 часа они встретились ровно на середине пути, когда дед только что закончил очередной отдых. Найдите начальное расстояние между дедом и внуком.
   
   
4. На основании \(BC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) отмечена точка \(M\), а на боковой стороне \(AC\) — точка \(N\) так, что \(AM = AN\). Зная, что \(\angle BAM = 20^\circ\), найдите величину \(\angle CMN\).

Решения задач

1. Вычислите: \[ 158 \;\cdot\; \biggl( \frac{ 12 \cdot \left(1 - \frac{1}{7} - \frac{1}{289} - \frac{1}{85}\right) }{ 4 \cdot \left(1 - \frac{1}{7} - \frac{1}{289} - \frac{1}{85}\right) } : \frac{ 5 \cdot \left(1 + \frac{1}{13} + \frac{1}{169} + \frac{1}{91}\right) }{ 6 \cdot \left(1 + \frac{1}{13} + \frac{1}{169} + \frac{1}{91}\right) } \biggr) \;\cdot\; \frac{505505505}{711711711}. \] Упростим дроби: \[ \frac{12}{4} \cdot \frac{1}{1} = 3; \quad \frac{5}{6} = \frac{5}{6}. \] Тогда выражение принимает вид: \[ 158 \cdot \left(3 : \frac{5}{6}\right) \cdot \frac{505505505}{711711711} = 158 \cdot \left(3 \cdot \frac{6}{5}\right) \cdot \frac{505}{711}. \] Сократим множители: \[ 505 = 5 \cdot 101;\quad 711 = 9 \cdot 79; \quad 158 = 2 \cdot 79. \] Выполним сокращение: \[ 158 \cdot \frac{18}{5} \cdot \frac{505}{711} = \cancel{79} \cdot 2 \cdot \frac{18}{5} \cdot \frac{5 \cdot 101}{9 \cdot \cancel{79}} = 2 \cdot \frac{18 \cdot 101}{9} = 4 \cdot 101 = 404. \] Ответ: $\boxed{404}$.
   
   
2. Наименьшее значение дроби \(\frac{x}{y}\). Пусть \(x = 10y + a\), где \(a\) — последняя цифра (\(1 \leq a \leq 9\)). Тогда: \[ \frac{x}{y} = 10 + \frac{a}{y}. \] Минимизируем \(\frac{a}{y}\). Максимальное \(y = 9999\) (четырёхзначное), минимальное \(a = 1\). Тогда: \[ \frac{x}{y} = \frac{10 \cdot 9999 + 1}{9999} = 10 + \frac{1}{9999} = \frac{100001}{9999}. \] Проверка: \(\frac{100001}{9999} \approx 10.0001\) — минимально возможное значение. Ответ: $\boxed{\frac{100001}{9999}}$.
   
   
3. Начальное расстояние. Пусть скорость внука \(v\) м/ч, тогда скорость деда \(2v\) м/ч. Внук прошёл \(3v\) км за 3 часа. Дед двигался суммарно \(1.5\) часа (так как половина времени отдыхал). Его путь: \[ \frac{S}{2} = 2v \cdot 1.5 = 3v \implies S = 6v. \] Количество отдыхов деда: \(\frac{3v}{2000}\) полных отрезков. Общее время отдыха: \(\frac{3v}{2000} \cdot 0.5 = \frac{3v}{4000}\) часов. Уравнение времени: \[ 1.5 + \frac{3v}{4000} = 3 \implies \frac{3v}{4000} = 1.5 \implies v = 2000 \text{ м/ч}. \] Тогда \(S = 6 \cdot 2000 = 12000\) м = 12 км. Ответ: $\boxed{12 \text{ км}}$.
   
   
4. Величина угла \(\angle CMN\). В равнобедренном треугольнике \(ABC\) (\(AB = AC\)), \(\angle BAC = 40^\circ\), \(\angle ABC = \angle ACB = 70^\circ\). Точки \(M\) и \(N\) выбраны так, что \(AM = AN\). Поскольку \(\angle BAM = 20^\circ\), то \(\angle MAN = 20^\circ\). Треугольник \(AMN\) равнобедренный, \(\angle AMN = 80^\circ\). Из симметрии и свойств треугольника находим \(\angle CMN = 30^\circ\). Ответ: $\boxed{30^\circ}$.