Лицей №146 из 7 в 8 класс 2016 год вариант 2

1. Вычислите: \[ \frac{16^7 - 16^6}{8^{10} - 8^9 + 8^8}. \]
2. Найдите значение выражения \[ a\,(a+1)\,(a-1)\;-\;(a-2)\,(a^2 + 2a + 4), \quad\text{где }a=-2\tfrac{2}{3}. \]
3. Турист, идущий из деревни на железнодорожную станцию, пройдя за первый час 3,5 км, рассчитал, что опоздает на поезд на 1 час, если будет двигаться с прежней скоростью. Поэтому остальной путь он проходит со скоростью 5 км/ч и прибывает на станцию за 30 минут до отхода поезда. Найдите расстояние от деревни до станции.
4. Влажность свежесобранных грибов составляет 99%, а влажность после подсушивания — 98%. Сколько килограммов сушёных грибов получится из 100 кг свежих?
5. Кусок проволоки длиной 123 см надо разрезать на несколько частей, каждая из которых имеет длину либо 12 см, либо 15 см, так чтобы не осталось обрезков. Найдите все возможные способы разрезания.
6. Выходя утром в школу, Петя взял с собой 20 конфет. Вернувшись, он заметил, что по дороге в школу он съел в три раза больше конфет, чем в школе, а по дороге домой — в три раза меньше, чем в школе. Сколько конфет осталось у Пети?
7. В треугольнике \(ABC\) \(AB = BC\), \(AC = 15\). Из точки \(K\), середины \(AB\), проведён перпендикуляр \(KE\) к стороне \(AB\) до пересечения со стороной \(BC\) в точке \(E\). Периметр треугольника \(AEC\) равен 40 см. Найдите периметр треугольника \(ABC\).

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{16^7 - 16^6}{8^{10} - 8^9 + 8^8} \] Решение:
   Упростим числитель и знаменатель: \[ \frac{16^6(16 - 1)}{8^8(8^2 - 8 + 1)} = \frac{16^6 \cdot 15}{8^8 \cdot 57} \] Заменим \(16 = 2^4\) и \(8 = 2^3\): \[ \frac{(2^4)^6 \cdot 15}{(2^3)^8 \cdot 57} = \frac{2^{24} \cdot 15}{2^{24} \cdot 57} = \frac{15}{57} = \frac{5}{19} \] Ответ: \(\frac{5}{19}\).
   
   
2. Найдите значение выражения \[ a\,(a+1)\,(a-1)\;-\;(a-2)\,(a^2 + 2a + 4) \quad\text{где }a=-2\tfrac{2}{3}. \] Решение:
   Упростим выражение: \[ a(a^2 - 1) - (a^3 - 8) = a^3 - a - a^3 + 8 = -a + 8 \] Подставим \(a = -\frac{8}{3}\): \[ -\left(-\frac{8}{3}\right) + 8 = \frac{8}{3} + \frac{24}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \] Ответ: \(10\frac{2}{3}\).
   
   
3. Турист прошел 3,5 км за первый час. Расстояние от деревни до станции \(x\) км. Время при скорости 3,5 км/ч: \[ \frac{x}{3,5} = \frac{2x}{7} \] После изменения скорости оставшийся путь \(x - 3,5\) км занял: \[ 1 + \frac{x - 3,5}{5} \] Уравнение времени: \[ \frac{2x}{7} = 1 + \frac{x - 3,5}{5} + 1,5 \] Решив, получим \(x = 21\) км. Ответ: 21 км.
   
   
4. В 100 кг свежих грибов сухое вещество составляет 1% (1 кг). После сушки оно становится 2% массы: \[ 1 \text{ кг} = 0,02M \Rightarrow M = 50 \text{ кг} \] Ответ: 50 кг.
   
   
5. Уравнение для разрезания проволоки: \[ 12x + 15y = 123 \Rightarrow 4x + 5y = 41 \] Решения в натуральных числах: \[ (x, y) = (9, 1), \; (4, 5) \] Ответ: 9 частей по 12 см и 1 по 15 см; 4 части по 12 см и 5 по 15 см.
   
   
6. Пусть конфет в школе съедено \(x\). Тогда: \[ 3x + x + \frac{x}{3} \leq 20 \Rightarrow \frac{11x}{3} \leq 20 \Rightarrow x \leq 5\frac{5}{11} \] При \(x = 3\) остаток: \[ 20 - 11 = 9 \] Ответ: 9.
   
   
7. Треугольник \(ABC\) равнобедренный (\(AB = BC\)). Периметр \(AEC\): \[ AE + EC + 15 = 40 \Rightarrow AE + EC = 25 \] При \(AB = BC = 25\) см периметр \(ABC\): \[ 25 + 25 + 15 = 65 \text{ см} \] Ответ: 65 см.