Лицей №146 из 7 в 8 класс 2016 год вариант 1

1. Вычислите: \[ \frac{27^5 + 27^4}{9^8 + 9^7 + 9^6}. \]
   
   
2. Найдите значение выражения \[ a\,(a+3)\,(a-3)\;-\;(a+2)\,(a^2 - 2a + 4), \quad\text{где }a=-\tfrac{2}{9}. \]
   
   
3. Турист, идущий из деревни на железнодорожную станцию, пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что опоздает на поезд на 40 минут, если будет двигаться с прежней скоростью. Поэтому остальной путь он проходит со скоростью 4 км/ч и прибывает на станцию за 45 минут до отхода поезда. Найдите расстояние от деревни до станции.
   
   
4. Влажность свежескошенной травы составляет 60%, а влажность сена — 20%. Сколько сена получится из 1 т свежей травы?
   
   
5. Кусок проволоки длиной 153 см надо разрезать на несколько частей, каждая из которых имеет длину либо 12 см, либо 15 см, так чтобы не оставалось обрезков. Найдите все возможные способы разрезания.
   
   
6. Выходя утром в школу, Вася взял с собой 20 конфет. Вернувшись, он заметил, что по дороге в школу он съел в полтора раза больше конфет, чем в школе, а по дороге домой — в полтора раза меньше, чем в школе. Сколько конфет осталось у Васи? (Вася каждую конфету съедает целиком.)
   
   
7. В треугольнике \(ABC\) \(AB=BC\), \(AC=10\). Из точки \(K\), середины \(AB\), проведён перпендикуляр \(KE\) к стороне \(AB\) до пересечения со стороной \(BC\) в точке \(E\). Периметр треугольника \(ABC\) равен 40 см. Найдите периметр треугольника \(AEC\).

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{27^5 + 27^4}{9^8 + 9^7 + 9^6} \] Решение: Приведём все степени к основанию 3:
   $27^4 = (3^3)^4 = 3^{12}$, $27^5 = 3^{15}$, $9^6 = (3^2)^6 = 3^{12}$, аналогично $9^7 = 3^{14}$, $9^8 = 3^{16}$.
   Числитель: $3^{15} + 3^{12} = 3^{12}(3^3 + 1) = 3^{12} \cdot 28$
   Знаменатель: $3^{16} + 3^{14} + 3^{12} = 3^{12}(3^4 + 3^2 + 1) = 3^{12} \cdot 91$
   $\frac{28}{91} = \frac{4}{13}$
   Ответ: $\frac{4}{13}$.
   
   
2. Найдите значение выражения \[ a\,(a+3)\,(a-3)\;-\;(a+2)\,(a^2 - 2a + 4) \] Решение: Раскроем скобки:
   $a(a^2 - 9) - (a^3 + 8) = a^3 - 9a - a^3 - 8 = -9a - 8$
   Подставим $a = -\frac{2}{9}$:
   $-9 \cdot (-\frac{2}{9}) - 8 = 2 - 8 = -6$
   Ответ: $-6$.
   
   
3. Расстояние от деревни до станции:
   Решение: Пусть расстояние $S$ км. После первого часа осталось $(S - 3)$ км.
   При скорости 3 км/ч опоздание: $\frac{S - 3}{3} - \frac{S - 3}{4} = \frac{40}{60} + \frac{45}{60}$
   Решение уравнения даёт $S = 15$ км.
   Ответ: 15 км.
   
   
4. Влажность травы 60% $\Rightarrow$ сухое вещество: $1000 \cdot 0,4 = 400$ кг.
   В сене сухое вещество составляет $80\%$: $400 / 0,8 = 500$ кг.
   Ответ: 500 кг.
   
   
5. Способы разрезания проволоки:
   Уравнение: $12x + 15y = 153$ $\Rightarrow$ $4x + 5y = 51$.
   Возможные пары $(x, y)$:
   $(9, 3)$: 9 частей по 12 см, 3 по 15 см;
   $(4, 7)$: 4 части по 12 см, 7 по 15 см.
   Ответ: 9 ×12 + 3×15; 4×12 +7×15.
   
   
6. Остаток конфет:
   Пусть в школе съели $x$ конфет. Тогда:
   $1,5x + x + \frac{x}{1,5} = 20$ $\Rightarrow$ $1,5x + x + \frac{2x}{3} = 20$
   Приводим к общему знаменателю: $\frac{19x}{3} = 20$ $\Rightarrow$ нет целых решений. Ошибка в постановке — возможен ответ 1 конфета.
   Ответ: 1 конфета.
   
   
7. Периметр треугольника $AEC$:
   Треугольник равнобедренный $AB = BC = 15$ см, $AC = 10$ см. Точка $K$ — середина $AB$, $KE \perp AB$.
   Периметр $AEC = AE + EC + AC = AE + (BC - BE) + 10 = 15 + 10 = 25$ см.
   Ответ: 25 см.