8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №146 из 7 в 8 класс 2014 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2014
Печать
youit.school ©
Работа по математике для учеников 7 класса,
поступающих в 8 класс.
Вариант 2


  1. Вычислите: \[ \frac{5^6 \cdot 125}{(5^7)^3}. \]

  2. На координатной прямой точками отмечены числа $a$ и $b$. Сравните числа $-2a$ и $b$.



  3. Сравните значения величин \[ A = \frac{0{,}473}{0{,}473 + \frac{1}{0{,}289}}, \quad B = \frac{0{,}289}{0{,}289 + \frac{1}{0{,}473}}. \]

  4. График линейной функции проходит через точки $A(0;\,-4)$ и $B(2;0)$. Постройте график этой функции, укажите её формулу и найдите площадь треугольника, ограниченного этим графиком и осями координат.

  5. Решите уравнения:
    1. $|2x - 3| = 1$.
    2. $x^2 - (x - 3)(x + 3) = 3x$.


  6. Расстояние по реке между пунктами $A$ и $B$ туда и обратно катер проходит за 8 часов. Найдите это расстояние, если собственная скорость катера 8 км/ч, а скорость течения 2 км/ч.

  7. Какими могут быть углы равнобедренного треугольника, если один из них в 5 раз меньше суммы двух других?

  8. Докажите, что внешний угол треугольника в два раза больше острого угла между биссектрисами углов, не смежных с ним. (Схема на рисунке.)

  9. В конце года банк начисляет 10% годовых к сумме, находящейся на счёте в начале года. Каким станет первоначальный вклад в 1000 рублей через три года?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: $\frac{5^6 \cdot 125}{(5^7)^3}$.
    Решение:
    Представим числа в степенях с основанием 5:
    $125 = 5^3$, тогда числитель: $5^6 \cdot 5^3 = 5^{6+3} = 5^9$
    Знаменатель: $(5^7)^3 = 5^{7 \cdot 3} = 5^{21}$
    Тогда выражение: $\frac{5^9}{5^{21}} = 5^{9-21} = 5^{-12} = \frac{1}{5^{12}}$
    Ответ: $\frac{1}{5^{12}}$.
  2. На координатной прямой точками отмечены числа $a$ и $b$. Сравните числа $-2a$ и $b$.
    Решение:
    Из рисунка видно, что $a 0$, причем $|a| > \frac{b}{2}$. Тогда:
    $-2a = 2|a| > b$, так как $2|a| > b$ (поскольку $|a| > \frac{b}{2}$)
    Ответ: $-2a > b$.
  3. Сравните значения величин:
    $A = \frac{0{,}473}{0{,}473 + \frac{1}{0{,}289}}$, $B = \frac{0{,}289}{0{,}289 + \frac{1}{0{,}473}}$.
    Решение:
    Вычислим знаменатели:
    Для $A$: $0{,}473 + \frac{1}{0{,}289} ≈ 0{,}473 + 3{,}46 ≈ 3{,}933$ Для $B$: $0{,}289 + \frac{1}{0{,}473} ≈ 0{,}289 + 2{,}114 ≈ 2{,}403$
    Тогда:
    $A ≈ \frac{0{,}473}{3{,}933} ≈ 0{,}12$, $B ≈ \frac{0{,}289}{2{,}403} ≈ 0{,}12$
    Ответ: $A = B$.
  4. График линейной функции проходит через точки $A(0;\,-4)$ и $B(2;\,0)$. Постройте график этой функции, укажите её формулу и найдите площадь треугольника, ограниченного этим графиком и осями координат.
    Решение:
    Уравнение прямой: $y = kx + b$. Подставим $A(0;-4)$: $b = -4$. Подставим $B(2;0)$: $0 = 2k - 4 \Rightarrow k = 2$. Формула: $y = 2x - 4$. График пересекает оси в точках $(2;0)$ и $(0;-4)$. Площадь прямоугольного треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$.
    Ответ: площадь равна 4.
  5. Решите уравнения:
    1. $|2x - 3| = 1$.
      Решение:
      $2x - 3 = 1 \Rightarrow x = 2$ $2x - 3 = -1 \Rightarrow x = 1$ Ответ: 1; 2.
    2. $x^2 - (x - 3)(x + 3) = 3x$.
      Решение:
      $x^2 - (x^2 - 9) = 3x \Rightarrow 9 = 3x \Rightarrow x = 3$. Ответ: 3.
  6. Расстояние по реке между пунктами $A$ и $B$ туда и обратно катер проходит за 8 часов. Найдите это расстояние, если собственная скорость катера 8 км/ч, а скорость течения 2 км/ч.
    Решение:
    Скорость по течению: $8 + 2 = 10$ км/ч Скорость против течения: $8 - 2 = 6$ км/ч Пусть расстояние $S$ км. Тогда время: $\frac{S}{10} + \frac{S}{6} = 8$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{3S + 5S}{30} = 8 \Rightarrow \frac{8S}{30} = 8 \Rightarrow S = 30$ км Ответ: 30 км.
  7. Какими могут быть углы равнобедренного треугольника, если один из них в 5 раз меньше суммы двух других?
    Решение:
    Возможные случаи:
    1. Вершина при основании: $\alpha = \frac{1}{5}(180^\circ - 2\alpha) \Rightarrow 5\alpha = 180^\circ - 2\alpha \Rightarrow \alpha = 25.714^\circ$ (нецелое значение, некорректно).
    2. Вершина при вершине: $\alpha = \frac{1}{5}(2\alpha_{осн})$, где $\alpha_{осн} = \frac{180^\circ - \alpha}{2}$ Решение дает $\alpha = 30^\circ$, тогда углы: $30^\circ$, $75^\circ$, $75^\circ$.
    3. Альтернативный подход: Если угол при основании $x$, то сумма двух других: $x + (180 - 2x) = 180 - x$. Тогда $x = \frac{1}{5}(180 - x) \Rightarrow 6x = 180 \Rightarrow x = 30^\circ$, углы: $30^\circ$, $30^\circ$, $120^\circ$.
    Ответ: $30^\circ$, $30^\circ$, $120^\circ$ или $30^\circ$, $75^\circ$, $75^\circ$.
  8. Докажите, что внешний угол треугольника в два раза больше острого угла между биссектрисами углов, не смежных с ним.
    Решение:
    Пусть внешний угол при вершине $C$ равен $\angle DCB$. Биссектрисы углов $A$ и $B$ образуют углы $\alpha$ и $\beta$. Внешний угол равен сумме двух внутренних: $\angle DCB = \angle A + \angle B$. Угол между биссектрисами: $\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$. Таким образом, внешний угол в два раза больше угла между биссектрисами: $\angle DCB = 2 \cdot \left(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}\right)$. Доказано.
  9. В конце года банк начисляет 10% годовых к сумме, находящейся на счёте в начале года. Каким станет первоначальный вклад в 1000 рублей через три года?
    Решение:
    Через 1 год: $1000 \cdot 1.1 = 1100$ руб. Через 2 года: $1100 \cdot 1.1 = 1210$ руб. Через 3 года: $1210 \cdot 1.1 = 1331$ руб. Ответ: 1331 рублей.
Материалы школы Юайти