Лицей №146 из 7 в 8 класс 2013 год вариант 2

1. (2 балла) Докажите, что значение выражения \[ (5k^2 + 6)^2 \;-\; (5k^2 - 6)^2 \] неотрицательно при любом значении \(k\).
   
   
2. (2 балла) Решите уравнение \[ \frac{9x - 5}{14} \;-\; \frac{3x - 2}{5} \;+\; \frac{7x - 1}{35} = 11. \]
   
   
3. (3 балла) Решите уравнение \[ \frac{2^{19}\cdot 9^9}{6^{18}} \;\cdot\; \frac{x^{19}\cdot x^{47}}{x^{65}} = 10. \]
   
   
4. (3 балла) Алёша Попович срубил Змею Горынычу 70% всех голов, однако на 60% всех оставшихся шеях выросло по 5 новых голов на каждой. На сколько процентов увеличилось общее количество голов?
   
   
5. (4 балла) Из карточек с цифрами \(1,2,4,5,8,9\) составьте число \(x\) так, чтобы величина \(\lvert x - 500\rvert\) была наименьшей. Обязательно обоснуйте, что уменьшить эту величину невозможно.
   
   
6. (5 баллов) В четырёхугольнике \(ABCD\) выполнено \(CD=BC\). Лучи \(CB\) и \(DA\) пересекаются в точке \(P\), а лучи \(BA\) и \(CD\) — в точке \(Q\). Известно, что \(CQ = CP\) и \(\angle APQ = 32^\circ\). Найдите величину \(\angle PQA\).
   
   
7. (6 баллов) Гидролог вводит в компьютер измерения температуры забортной воды с точностью до десятых градусов. За время наблюдений температура была всегда выше \(10^\circ\)C и ниже \(17^\circ\)C. Всего введено 32 значения, но из–за усталости и неудобной клавиатуры однажды вместо десятичной запятой была введена цифра «0», а в другой раз запятая не была введена вовсе. После упорядочивания данных получился ряд из 32 чисел, начинающийся \[ 12{,}2;\quad 12{,}8;\;\dots \] Если удалить первые два числа, среднее арифметическое оставшихся равно \(68{,}8\). Если удалить два последних, среднее арифметическое оставшихся равно \(13{,}7\). Определите, в каких записях допущены ошибки и в чём они заключаются.

Решения задач

1. Докажите, что значение выражения \[ (5k^2 + 6)^2 \;-\; (5k^2 - 6)^2 \] неотрицательно при любом значении \(k\).
   Решение: Разложим выражение как разность квадратов: \[ (5k^2 + 6 + 5k^2 - 6)(5k^2 + 6 - 5k^2 + 6) = (10k^2)(12) = 120k^2. \] Поскольку \(k^2 \geq 0\), то \(120k^2 \geq 0\) при любом \(k\).
   Ответ: Выражение неотрицательно для всех \(k\).
2. Решите уравнение \[ \frac{9x - 5}{14} - \frac{3x - 2}{5} + \frac{7x - 1}{35} = 11. \]
   Решение: Умножим все члены уравнения на 70 (НОК 14, 5, 35): \[ 5(9x - 5) - 14(3x - 2) + 2(7x - 1) = 770. \] Раскроем скобки и упростим: \[ 45x - 25 - 42x + 28 + 14x - 2 = 770 \quad \Rightarrow \quad 17x + 1 = 770. \] Решая, получим: \[ 17x = 769 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{769}{17} = 45\frac{4}{17}. \] Ответ: \(45\frac{4}{17}\).
3. Решите уравнение \[ \frac{2^{19} \cdot 9^9}{6^{18}} \cdot \frac{x^{19} \cdot x^{47}}{x^{65}} = 10. \]
   Решение: Упростим выражение: \[ \frac{2^{19} \cdot (3^2)^9}{(2 \cdot 3)^{18}} \cdot x^{1} = 10 \quad \Rightarrow \quad \frac{2^{19} \cdot 3^{18}}{2^{18} \cdot 3^{18}} \cdot x = 10. \] Сократим: \[ 2 \cdot x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 5. \] Ответ: 5.
4. Алёша Попович срубил Змею Горынычу 70% всех голов. На оставшихся головах в 60% случаев выросло по 5 новых голов. На сколько процентов увеличилось количество голов?
   Решение: Пусть изначально \(N\) голов. После срубания осталось \(0{,}3N\) голов. На 60% из них (\(0{,}18N\)) выросло по 5 голов: \[ \text{Новые головы: } 0{,}18N \cdot 5 = 0{,}9N. \] Общее количество стало: \[ 0{,}3N + 0{,}9N = 1{,}2N. \] Увеличение на \(0{,}2N\), то есть на$ 20\%$.
   Ответ: $20\%$.
5. Составьте число \(x\) из цифр \(1,2,4,5,8,9\), чтобы \(|x - 500|\) было минимальным.
   Решение: Наименьшее отклонение достигается при числе 498 (используя цифры 4, 9, 8). Оставшиеся цифры (1, 2, 5) не влияют на результат, так как трёхзначное число ближе к 500, чем шестизначное.
   Обоснование: \(|498 - 500| = 2\), что меньше отклонения от любого другого числа с использованием оставшихся цифр.
   Ответ: 498.
6. В четырёхугольнике \(ABCD\) (\(CD = BC\)) лучи \(CB\) и \(DA\) пересекаются в точке \(P\), а лучи \(BA\) и \(CD\) — в точке \(Q\). Известно, что \(CQ = CP\) и \(\angle APQ = 32^\circ\). Найдите \(\angle PQA\).
   Решение: Из условия \(CD = BC\), треугольник \(BCD\) равнобедренный. Так как \(CQ = CP\), треугольник \(CQP\) равнобедренный. Угол \(\angle APQ = 32^\circ\) является внешним углом треугольника \(APQ\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). В равнобедренном треугольнике: \[ \angle PQA = \frac{180^\circ - 32^\circ}{2} = 74^\circ. \] Ответ: \(74^\circ\).
7. Гидролог ввёл данные температуры с ошибками. После сортировки первые два числа: 12,2; 12,8. Удаление первых двух даёт среднее 68,8; удаление двух последних — 13,7. Определите ошибки.
   Решение: Пусть сумма всех 32 чисел \(S\). Из условий: \[ \frac{S - 12{,}2 - 12{,}8}{30} = 68{,}8 \quad \Rightarrow \quad S = 2089. \] Удаление двух последних чисел: \[ \frac{S - a - b}{30} = 13{,}7 \quad \Rightarrow \quad a + b = 2089 - 411 = 1678. \] Ошибочные записи: два последних числа — 839 и 839 (появились из-за пропуска запятой в 8,39 и замены на 0 в 83,9).
   Ответ: Числа 839 (вместо 8,39) и 839 (вместо 83,9).