Лицей №146 из 7 в 8 класс 2013 год вариант 1

1. Докажите, что значение выражения \[ (3n^2 + 10)^2 \;-\; (3n^2 - 10)^2 \] неотрицательно при любом значении \(n\).
   
   
2. Решите уравнение \[ \frac{7x - 5}{10} \;-\; \frac{2x - 3}{3} \;+\; \frac{5x - 1}{15} = 13. \]
   
   
3. Решите уравнение \[ \frac{5^{17}\cdot 4^8}{10^{16}} \;\cdot\; \frac{x^{15}\cdot x^{39}}{x^{53}} = 15. \]
   
   
4. Алёша Попович срубил Змею Горынычу 60% всех голов, однако на 70% оставшихся шеях выросло по 4 новых головы на каждой. На сколько процентов увеличилось общее количество голов?
   
   
5. Из карточек с цифрами \(1,2,3,7,8,9\) составьте число \(x\) так, чтобы значение \[ \lvert x - 300\rvert \] было наименьшим. Обязательно обоснуйте, что уменьшить этот показатель невозможно.
   
   
6. В четырёхугольнике \(ABCD\) с \(AB=BC\) лучи \(BA\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\), а лучи \(AD\) и \(BC\) — в точке \(F\). Известно, что \(BE = BF\) и \(\angle DEF = 25^\circ\). Найдите величину \(\angle EFD\).
   
   
7. Метеоролог вводит в компьютер 22 измерения температуры (с точностью до десятых) в диапазоне \[ 20^\circ\text{C} < T < 26^\circ\text{C}. \] Из за усталости и неудобной клавиатуры однажды вместо десятичной точки он нажал цифру «0», а в другой раз точку не ввёл совсем. После упорядочивания получился ряд \[ 21{,}3,\;21{,}7,\;\dots \] Если удалить первые два числа, среднее арифметическое оставшихся равно \(149{,}53\). Если удалить два последних, среднее арифметическое оставшихся равно \(23{,}28\). Определите, в каких записях допущены ошибки и в чём они заключаются.

Решения задач

1. Докажите, что значение выражения \[ (3n^2 + 10)^2 - (3n^2 - 10)^2 \] неотрицательно при любом значении \(n\).
   Решение: Раскроем выражение по формуле разности квадратов: \[ (3n^2 + 10 - (3n^2 - 10))(3n^2 + 10 + 3n^2 - 10) = (20)(6n^2) = 120n^2. \] Так как \(n^2 \geq 0\) при любом \(n\), то \(120n^2 \geq 0\).
   Ответ: Доказано.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{7x - 5}{10} - \frac{2x - 3}{3} + \frac{5x - 1}{15} = 13. \] Решение: Умножим обе части на 30 для устранения знаменателей: \[ 3(7x - 5) -10(2x - 3) +2(5x -1) = 390. \] Раскроем скобки: \[ 21x -15 -20x +30 +10x -2 = 390. \] Соберём подобные слагаемые: \[ 11x +13 = 390 \Rightarrow 11x = 377 \Rightarrow x = \frac{377}{11} = 34\frac{3}{11}. \] Ответ: \(x = \frac{377}{11}\).
   
   
3. Решите уравнение: \[ \frac{5^{17} \cdot 4^8}{10^{16}} \cdot \frac{x^{15} \cdot x^{39}}{x^{53}} = 15. \] Решение: Преобразуем дроби: \[ \frac{5^{17} \cdot (2^2)^8}{(2 \cdot5)^{16}} \cdot \frac{x^{54}}{x^{53}} = \frac{5^{17} \cdot 2^{16}}{2^{16} \cdot 5^{16}} \cdot x = 5x. \] Уравнение принимает вид: \[ 5x = 15 \Rightarrow x =3. \] Ответ: \(x = 3\).
   
   
4. После срубания 60% голов осталось 40 %. На 70% оставшихся шеях выросло по 4 новые головы:
   Решение: Пусть изначально было \(N\) голов. После срубания: \(0.4N\) голов. На \(0.7 \cdot N\) шеях выросло \(0.7N \cdot 4 = 2.8N\) новых голов. Всего голов стало \(0.4N +2.8N =3.2N\).
   Увеличение: \(\frac{3.2N - N}{N} \cdot 100% =220\%\).
   Ответ: 220%.
   
   
5. Минимизировать \(|x -300|\) можно числом 298 (цифры 2,9,8): \[ |298 - 300| =2. \] Меньше 2 уменьшить невозможно, так как ближайшие варианты (297,299) недостижимы без повторения цифр.
   Ответ: 298.
   
   
6. В четырёхугольнике \(ABCD\) с \(AB=BC\), из условий равенства \(BE=BF\) и углов следует, что \(\angle EFD =25^\circ\).
   Ответ: \(\angle EFD =25^\circ\).
   
   
7. Ошибки: два самых больших числа увеличены в 10 раз из-за пропуска точки. Например, числа 24.5 и25.1 стали 245 и251. Среднее после их удаления —23.28, а при их наличии — искажает общую сумму.
   Ответ: Ошибки в записях, где температура записана без десятичной точки, увеличив значения в 10 раз.