Лицей №146 из 7 в 8 класс 2012 год вариант 2

1. Решить уравнение: \[ \frac{8x + 7}{6} \;-\;\frac{5x - 2}{2} \;=\; 3 \;-\;\frac{3 - 2x}{4}. \]
   
   
2. Разложить на множители: \[ 3x^4 \;-\; 12x^3 \;-\; x^2 \;+\; 16. \]
   
   
3. Расстояние от посёлка Дубки до города Липки автобус по расписанию проходит со скоростью 48 км/ч. Однажды, пройдя четверть пути, он сделал остановку на 6 минут и, чтобы прибыть в Липки вовремя, увеличил на оставшейся части пути скорость до 54 км/ч. Найдите расстояние между посёлком Дубки и городом Липки.
   
   
4. Разность двух чисел равна 9. 5% большего из них и 6% меньшего в сумме дают 2,1. Найдите эти числа.
   
   
5. Треугольник \(ABC\) равнобедренный (\(AB = BC\)), \(\angle C = 72^\circ\). \(AP\) — биссектриса треугольника, \(PK \parallel AB\) и пересекает сторону \(AC\) в точке \(K\). Найдите угол \(\angle KPA\).
   
   
6. Даны выражения \[ a = 3*13 : 3,\quad b = 123* : 5,\quad c = 364* : 9. \] Вставьте цифры вместо звёздочек так, чтобы значения этих выражений были целыми и при этом наименьшими из возможных (в разных выражениях звёздочки могут быть разными цифрами). Вычислите среднее арифметическое полученных чисел.
   
   
7. Дана окружность с центром в точке \(O\) и радиусом 5. Точка \(M\) лежит на окружности, а расстояние от точки \(F\) до центра равно 12. Найдите наименьшее и наибольшее возможные значения отрезка \(FM\).
   
   
8. Петя разрезал прямоугольник на два прямоугольника с периметрами по 50 см, а Саша разрезал такой же прямоугольник на два прямоугольника с периметрами по 70 см. Найдите стороны исходного прямоугольника.

Решения задач

1. Решить уравнение: \[ \frac{8x + 7}{6} - \frac{5x - 2}{2} = 3 - \frac{3 - 2x}{4} \]
   Решение: Умножим все члены уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 6, 2, 4):
   \(12 \cdot \frac{8x + 7}{6} - 12 \cdot \frac{5x - 2}{2} = 12 \cdot 3 - 12 \cdot \frac{3 - 2x}{4}\)
   \(2(8x + 7) - 6(5x - 2) = 36 - 3(3 - 2x)\)
   Раскроем скобки:
   \(16x + 14 - 30x + 12 = 36 - 9 + 6x\)
   Упростим:
   \(-14x + 26 = 6x + 27\)
   Перенесем слагаемые:
   \(-14x - 6x = 27 - 26\)
   \(-20x = 1\)
   \(x = -\frac{1}{20}\)
   Ответ: \(-\frac{1}{20}\).
2. Разложить на множители: \[ 3x^4 - 12x^3 - x^2 + 16 \]
   Решение: Сгруппируем слагаемые:
   \((3x^4 - 12x^3) - (x^2 - 16)\)
   Вынесем общие множители:
   \(3x^3(x - 4) - (x - 4)(x + 4)\)
   Общий множитель \((x - 4)\):
   \((x - 4)(3x^3 - x - 4)\)
   Проверим кубический многочлен \(3x^3 - x - 4\). Подбор корней: \(x = 1\) даёт \(3 -1 -4 = -2 \neq 0\), \(x = 2\): \(24 -2 -4 = 18 \neq 0\). Разложение завершаем:
   Ответ: \((x - 4)(3x^3 - x - 4)\).
3. Расстояние между Дубками и Липками:
   Решение: Пусть расстояние \(S\) км. Время по расписанию: \(\frac{S}{48}\) ч. Реальное время:
   Время на первую четверть: \(\frac{S/4}{48} = \frac{S}{192}\) ч.
   Время на оставшийся путь: \(\frac{3S/4}{54} = \frac{S}{72}\) ч.
   Уравнение: \(\frac{S}{192} + 0,1 + \frac{S}{72} = \frac{S}{48}\)
   Приведем к общему знаменателю 576:
   \(3S + 57,6 + 8S = 12S\)
   \(57,6 = 12S - 11S\)
   \(S = 57,6\) км.
   Ответ: 57,6 км.
4. Разность двух чисел:
   Решение: Пусть большее число \(x\), меньшее \(x - 9\). Уравнение:
   \(0,05x + 0,06(x - 9) = 2,1\)
   \(0,05x + 0,06x - 0,54 = 2,1\)
   \(0,11x = 2,64\)
   \(x = 24\), тогда меньшее: \(24 - 9 = 15\).
   Ответ: 24 и 15.
5. Угол \(\angle KPA\):
   Решение: Треугольник ABC равнобедренный, \(AB = BC\), \(\angle B = 72^\circ\), тогда \(\angle A = \angle C = 54^\circ\).
   Биссектриса AP делит угол A пополам: \(\angle BAP = \angle KAP = 27^\circ\).
   Так как \(PK \parallel AB\), соответственные углы равны: \(\angle KPA = \angle BAP = 27^\circ\).
   Ответ: \(27^\circ\).
6. Вставить цифры в выражения:
   Решение: \[ \begin{cases} a: 3\underline{2}13 \div 3 = 3213 \div 3 = 1071, \\ b: 123\underline{0} \div 5 = 1230 \div 5 = 246, \\ c: 364\underline{5} \div 9 = 3645 \div 9 = 405. \end{cases} \] Среднее арифметическое: \(\frac{1071 + 246 + 405}{3} = \frac{1722}{3} = 574\).
   Ответ: 574.
7. Отрезок FM:
   Решение: Наименьшее FM: \(12 - 5 = 7\), наибольшее: \(12 + 5 = 17\).
   Ответ: 7 и 17.
8. Стороны исходного прямоугольника:
   Решение: Пусть стороны \(a\) и \(b\). Разрезание Пети:
   Если разрезать по длине \(a\): периметры новых: \(2(x + b) = 50\) и \(2(a - x + b) = 50\).
   Суммируя: \(2x + 2a - 2x + 4b = 100 \Rightarrow a + 2b = 50\).
   Разрезание Саши:
   Если разрезать по ширине \(b\): аналогично \(2a + b = 70\).
   Система: \[ \begin{cases} a + 2b = 50, \\ 2a + b = 70. \end{cases} \] Решение: \[ a = 30,\quad b = 10. \]
   Ответ: 30 см и 10 см.