Лицей №146 из 7 в 8 класс 2012 год вариант 1

1. Решить уравнение: \[ \frac{4x-3}{2}\;-\;\frac{3x-4}{3} \;=\; 5 \;-\;\frac{2x-5}{3}. \]
   
   
2. Разложить на множители: \[ 6m^4 \;-\; 3m^3 \;-\; 4m^2 \;+\; 1. \]
   
   
3. Велосипедист проехал $\tfrac13$ пути со скоростью 12 км/ч, а затем вынужден был задержаться на 15 минут для ремонта велосипеда. Чтобы приехать вовремя к месту назначения, оставшийся путь он ехал со скоростью 18 км/ч. Найти общее расстояние, пройденное велосипедистом.
   
   
4. Разность двух чисел равна 1,4. 15% первого и 25% второго в сумме дают 1,89. Найдите эти числа.
   
   
5. Треугольник $ABC$ равнобедренный, $AB = BC$, $\angle B = 24^\circ$. $CP$ — биссектриса треугольника, $PK \parallel BC$ и пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Найдите угол $\angle KPC$.
   
   
6. Даны выражения: \[ a = 42{*}2 : 3,\quad b = 514{*} : 9,\quad c = 236{*} : 5. \] Вставьте цифры вместо звёздочек так, чтобы значения этих выражений были целыми и при этом наименьшими из возможных (в разных выражениях звёздочки могут быть разными цифрами). Вычислить среднее арифметическое полученных чисел.
   
   
7. Дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом 3. Точка $A$ лежит на окружности, а расстояние от точки $M$ до центра окружности равно 7. Найдите наименьшее и наибольшее возможные значения для $AM$.
   
   
8. Коля разрезал прямоугольник на два прямоугольника с периметрами по 40 см, а Миша разрезал такой же прямоугольник на два прямоугольника с периметрами по 50 см. Найдите стороны исходного прямоугольника.

Решения задач

1. Решить уравнение: \[ \frac{4x-3}{2} - \frac{3x-4}{3} = 5 - \frac{2x-5}{3} \] Решение: Умножим каждое слагаемое на 6, чтобы избавиться от знаменателей: \[ 3(4x - 3) - 2(3x - 4) = 30 - 2(2x - 5) \] Раскрываем скобки: \[ 12x - 9 - 6x + 8 = 30 - 4x + 10 \] Упрощаем: \[ 6x - 1 = 40 - 4x \Rightarrow 10x = 41 \Rightarrow x = 4,1 \] Ответ: \(4,1\).
2. Разложить на множители: \[ 6m^4 - 3m^3 - 4m^2 + 1 \] Решение: Группируем и выносим общие множители: \[ (6m^4 - 3m^3) - (4m^2 - 1) = 3m^3(2m - 1) - (2m - 1)(2m + 1) \] Выносим \((2m - 1)\): \[ (2m - 1)(3m^3 - 2m - 1) \] Разлагаем \(3m^3 - 2m - 1\) подбором корня \(m = 1\): \[ (m - 1)(3m^2 + 3m + 1) \] Итоговое разложение: \[ (2m - 1)(m - 1)(3m^2 + 3m + 1) \] Ответ: \((2m−1)(m−1)(3m²+3m+1)\).
3. Общее расстояние \(S\). Время на первую треть пути: \(\frac{S}{36}\) ч. Задержка: 0,25 ч. Время на оставшиеся \(\frac{2S}{3}\) км: \(\frac{2S}{54} = \frac{S}{27}\) ч. Уравнение: \[ \frac{S}{36} + 0,25 + \frac{S}{27} = \frac{S}{12} \] Приводим к общему знаменателю 108: \[ 3S + 27 + 4S = 9S \Rightarrow 2S = 27 \Rightarrow S = 13,5 \text{ км} \] Ответ: \(13,5\) км.
4. Пусть первое число \(x\), второе \(y\): \[ \begin{cases} x - y = 1,4 \\ 0,15x + 0,25y = 1,89 \end{cases} \] Выражаем \(x = y + 1,4\), подставляем: \[ 0,15(y + 1,4) + 0,25y = 1,89 \Rightarrow 0,4y = 1,68 \Rightarrow y = 4,2 \Rightarrow x = 5,6 \] Ответ: \(5,6\) и \(4,2\).
5. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с \(\angle B = 24^\circ\) углы при основании \(78^\circ\). Биссектриса \(CP\) делит угол \(C\) на \(39^\circ\). При параллельности \(PK \parallel BC\) угол \(\angle KPC\) равен \(\angle BCP = 39^\circ\). Ответ: \(39^\circ\).
6. Подбираем цифры:
   • \(a = 4212 : 3 = 1404\) (* = 1)
   • \(b = 5148 : 9 = 572\) (* = 8)
   • \(c = 2360 : 5 = 472\) (* = 0)
   Среднее арифметическое: \(\frac{1404 + 572 + 472}{3} = 816\). Ответ: \(816\).
7. \(OA = 3\), \(OM = 7\). Минимальное \(AM = OM - OA = 4\), максимальное \(AM = OM + OA = 10\). Ответ: \(4\) и \(10\).
8. Исходный прямоугольник \(a \times b\): \[ \begin{cases} 2(a + c) = 40 \\ 2(a + (b - c)) = 40 \\ 2(b + d) = 50 \\ 2(b + (a - d)) = 50 \end{cases} \] Решение: \(a = 10\), \(b = 20\). Ответ: \(10\) см и \(20\) см.