Лицей №146 из 7 в 8 класс 2010 год вариант 1

1. Записать равенство и проверить, верно ли оно: \[ 3\bigl(5^3 - (-9)^2\bigr) \;=\; \bigl((-2)^2\bigr)^3. \]
   
   
2. Выясните, имеет ли смысл дробь \[ \frac{14{,}5\cdot2{,}47} {(0{,}8 - 0{,}8\cdot2\tfrac{2}{3}) : 1{,}2 + 1\tfrac{1}{9}} , \] и, если имеет, равна ли она нулю?
   
   
3. Найдите значение выражения \[ 25a^2 \;-\; 40ab \;+\;16b^2 \;+\;5a\;-\;4b, \quad \text{если } a = \frac{4b - 1}{5}. \]
   
   
4. Выразите \(S\) из соотношения \[ 3S + p = \frac{9S^2 - p^2}{r + 3S}. \]
   
   
5. Решите уравнение \[ \frac{8(x+10)}{15} \;-\; 24\cdot\tfrac12 = 3 + \frac{x}{10} - \frac{2(11x - 5)}{5}. \]
   
   
6. Олег отвечает за час на 8 вопросов теста, а Никита — на 9. Они одновременно начали отвечать, и Олег закончил на 10 минут позже Никиты. Сколько вопросов содержится в тесте?
   
   
7. По преданию, на вопрос о своих учениках древнегреческий математик Пифагор отвечал: «Половина моих учеников изучает математику, четверть — природу, седьмая часть — время в молчаливом размышлении, а остальные — три девы». Сколько всего учеников было у Пифагора?
   
   
8. В треугольнике \(ABC\) проведена прямая, пересекающая \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно так, что \[ AM = MN = BN. \] Что можно сказать о треугольнике \(ABC\), если прямая \(MN\parallel AC\)?

Решения задач

1. Проверить равенство: $3\left(5^3 - (-9)^2\right) = \left((-2)^2\right)^3$.
   Решение: \[ 5^3 = 125;\quad (-9)^2 = 81 \] \[ \text{Левая часть: }3 \cdot (125 - 81) = 3 \cdot 44 = 132 \] \[ (-2)^2 = 4;\quad 4^3 = 64 \] \[ 132 \ne 64 \Rightarrow \text{Равенство неверно}. \] Ответ: Равенство неверно.
   
   
2. Проверить, имеет ли смысл дробь: \[ \frac{14{,}5 \cdot 2{,}47}{(0{,}8 - 0{,}8 \cdot 2\frac{2}{3}) : 1{,}2 + 1\frac{1}{9}} \] Решение: \[ 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3};\quad 0{,}8 \cdot \frac{8}{3} = \frac{6.4}{3} \approx 2{,}133 \] \[ 0{,}8 - 2{,}133 = -1{,}333;\quad (-1{,}333) : 1{,}2 = -1{,}111 \] \[ 1\frac{1}{9} = \frac{10}{9} \approx 1{,}111;\quad -1{,}111 + 1{,}111 = 0 \] Знаменатель равен нулю $\Rightarrow$ дробь не имеет смысла.
   Ответ: Дробь не имеет смысла.
   
   
3. Найти значение выражения: \[ 25a^2 - 40ab +16b^2 +5a -4b,\quad \text{если } a = \frac{4b - 1}{5}. \] Решение: \[ Первые три слагаемого: (5a -4b)^2 = \left(5\cdot \frac{4b-1}{5} -4b\right)^2 = (-1)^2 =1 \] Остаток: \[ 5a -4b = (4b -1) -4b = -1 \] \[ Итого:1 + (-1) =0 \] Ответ: 0.
   
   
4. Выразить \(S\) из уравнения: \[ 3S + p = \frac{9S^2 - p^2}{r + 3S} \] Решение: \[ (3S + p)(r +3S) =9S^2 - p^2 \] \[ 3Sr +9S^2 +pr +3Sp =9S^2 -p^2 \] \[ 3Sr +3Sp +pr +p^2 =0 \] \[ (r + p)(3S +p) =0 \Rightarrow S = -\frac{p}{3} \quad (\text{при }r +p \ne0) \] Ответ: \( S = -\dfrac{p}{3} \).
   
   
5. Решить уравнение: \[ \frac{8(x+10)}{15} -24\cdot \frac{1}{2} =3 + \frac{x}{10} - \frac{2(11x-5)}{5} \] Решение: \[ \frac{8x +80}{15} -12 =3 + \frac{x}{10} - \frac{22x -10}{5} \] Умножим все члены на 30: \[ 16x +160 -360 =90 +3x -132x +60 \] \[ 16x -200 =-129x +150 \Rightarrow 145x =350 \Rightarrow x = \frac{70}{29} \approx2{,}4138 \] Ответ: \(\dfrac{70}{29}\).
   
   
6. В тесте \(N\) вопросов. Олег отвечает за \(\dfrac{N}{8}\) часов, Никита за \(\dfrac{N}{9}\) часов. Разница во времени 10 минут (\(\dfrac{1}{6}\) часа): \[ \frac{N}{8} -\frac{N}{9} =\frac{1}{6} \Rightarrow N=72\left(\frac{1}{6}\right) \Rightarrow N=12 \] Ответ: 12 вопросов.
   
   
7. Общее число учеников \(x\): \[ \frac{x}{2} +\frac{x}{4} +\frac{x}{7} +3 =x \Rightarrow x=28 \] Ответ: 28 учеников.
   
   
8. Пусть \(AM =MN =BN =k\). Так как \(MN \parallel AC\), треугольники похожи: \[ \frac{AB}{AM} =\frac{BC}{BN} \Rightarrow AB =BC \Rightarrow \triangle{ABC} \text{ — равнобедренный} \] Ответ: \(\triangle{ABC}\) равнобедренный.