Лицей №146 из 7 в 8 класс 2009 год вариант 2

1. Решите уравнение: \[ \frac{8x - 3}{27} \;-\; \frac{2x - 1}{6} \;+\;1 = 0. \]
   
   
2. Найдите значение выражения: \[ \frac{\bigl(7^5\bigr)^3}{49 \cdot 7^{14}}. \]
   
   
3. Сумма двух чисел равна 91. Найдите эти числа, если 88% одного равны 55% другого.
   
   
4. Найдите \[ 3x^2y + 6xy - 9xy^2, \] если \( xy = 4 \quad\text{и}\quad x - 3y = -1. \)
   
   
5. Биссектриса угла \(ABC\) образует с его стороной угол, равный \(\tfrac17\) угла, смежного с углом \(ABC\). Найдите градусную меру угла \(ABC\).
   
   
6. Из пункта \(A\) в пункт \(M\) ведёт прямолинейная дорога длиной 42 км. Остановки автобуса расположены в точках \(B,C,D,K\). Известно, что \(AC=14\) км, \(BD=16\) км, \(CK=17\) км, \(DM=18\) км. Найдите расстояния \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DK\) и \(KM\).
   
   
7. Температуру можно измерять в градусах Цельсия (\(^\circ\)C) и Фаренгейта (\(^\circ\)F). Известно, что вода замерзает при \(0^\circ\)C, что соответствует \(32^\circ\)F, и кипит при \(100^\circ\)C (212°F). Сейчас на улице \(50^\circ\)F. Какова температура по шкале Цельсия?
   
   
8. Грузовик едет со скоростью 75 км/ч, за ним — легковой автомобиль со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 минуты после того, как легковой автомобиль догонит грузовик?

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{8x - 3}{27} - \frac{2x - 1}{6} + 1 = 0 \] Решение: \[ \frac{8x - 3}{27} - \frac{2x - 1}{6} + 1 = 0 \quad \Big| \cdot 54 \] \[ (8x - 3) \cdot 2 - (2x - 1) \cdot 9 + 54 = 0 \] \[ 16x - 6 - 18x + 9 + 54 = 0 \] \[ -2x + 57 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{57}{2} = 28,5 \] Ответ: 28,5.
   
   
2. Найдите значение выражения: \[ \frac{\bigl(7^5\bigr)^3}{49 \cdot 7^{14}} \] Решение: \[ \frac{7^{15}}{7^{2} \cdot 7^{14}} = \frac{7^{15}}{7^{16}} = 7^{-1} = \frac{1}{7} \] Ответ: \(\frac{1}{7}\).
   
   
3. Сумма двух чисел равна 91. Найдите эти числа, если 88% одного равны 55% другого. Решение: Пусть числа \(x\) и \(y\). Тогда: \[ \begin{cases} x + y = 91 \\ 0,88x = 0,55y \end{cases} \] \[ \frac{88}{100}x = \frac{55}{100}y \quad \Rightarrow \quad y = \frac{88}{55}x = 1,6x \] \[ x + 1,6x = 91 \quad \Rightarrow \quad 2,6x = 91 \quad \Rightarrow \quad x = 35 \] \[ y = 91 - 35 = 56 \] Ответ: 35 и 56.
   
   
4. Найдите \(3x^2y + 6xy - 9xy^2\), если \(xy = 4\) и \(x - 3y = -1\). Решение: \[ 3xy(x + 2 - 3y) = 3xy\left( (x - 3y) + 2 \right) \] \[ x - 3y = -1 \quad \Rightarrow \quad 3xy(-1 + 2) = 3 \cdot 4 \cdot 1 = 12 \] Ответ: 12.
   
   
5. Биссектриса угла \(ABC\) образует с его стороной угол, равный \(\frac{1}{7}\) угла, смежного с углом \(ABC\). Найдите градусную меру угла \(ABC\). Решение: Пусть \(\angle ABC = \alpha\). Смежный угол: \(180^\circ - \alpha\). Биссектриса делит угол пополам: \[ \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{7}(180^\circ - \alpha) \] \[ 7\alpha = 2(180^\circ - \alpha) \quad \Rightarrow \quad 9\alpha = 360^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha = 40^\circ \] Ответ: \(40^\circ\).
   
   
6. Из пункта \(A\) в пункт \(M\) ведёт прямолинейная дорога длиной 42 км. Остановки расположены в точках \(B,C,D,K\). Дано: \(AC=14\), \(BD=16\), \(CK=17\), \(DM=18\). Найдите \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DK\), \(KM\). Решение: Пусть \(AB = x\), \(BC = y\), \(CD = z\), \(DK = t\), \(KM = u\). \[ \begin{cases} x + y = 14 \\ y + z = 16 \\ z + t = 17 \\ t + u = 18 \\ x + y + z + t + u = 42 \end{cases} \] Из (1): \(x = 14 - y\). Из (2): \(z = 16 - y\). Из (3): \(t = 17 - z = 17 - (16 - y) = 1 + y\). Из (4): \(u = 18 - t = 18 - (1 + y) = 17 - y\). \[ (14 - y) + y + (16 - y) + (1 + y) + (17 - y) = 42 \] \[ 48 - y = 42 \quad \Rightarrow \quad y = 6 \] Тогда \(x = 8\), \(z = 10\), \(t = 7\), \(u = 11\). Ответ: \(AB=8\), \(BC=6\), \(CD=10\), \(DK=7\), \(KM=11\).
   
   
7. Температура \(50^\circ F\). Какова температура по Цельсию? Решение: \[ ^\circ C = \frac{5}{9}(^\circ F - 32) = \frac{5}{9}(50 - 32) = \frac{5}{9} \cdot 18 = 10^\circ C \] Ответ: \(10^\circ C\).
   
   
8. Грузовик (75 км/ч) и легковой автомобиль (90 км/ч). Расстояние через 3 минуты после обгона. Решение: \[ \text{Скорость удаления} = 90 - 75 = 15 \text{ км/ч} \] \[ 3 \text{ мин} = 0,05 \text{ ч.} \] \[ S = 15 \cdot 0,05 = 0,75 \text{ км} = 750 \text{ м} \] Ответ: 750 м.