Лицей №146 из 7 в 8 класс 2009 год вариант 1

1. Решите уравнение: \[ \frac{5x - 10}{14} \;-\;\frac{3x - 1}{8} = 1. \]
2. Найдите значение выражения: \[ \frac{\bigl((6)^2\bigr)^5 \,\cdot\,36}{6^{11}}. \]
3. Сумма двух чисел равна 91. Найдите эти числа, если 77% одного равны 66% другого.
4. Найдите \[ 10a^2b + 5ab - 15ab^2, \] если \(ab = 2\) и \(2a - 3b = -4\).
5. Биссектриса угла \(ABC\) образует с его стороной угол, равный \(\tfrac{1}{3}\) угла, смежного с углом \(ABC\). Найдите градусную меру угла \(ABC\).
6. Из пункта \(A\) в пункт \(F\) ведёт прямолинейная дорога длиной 35 км. Остановки автобуса расположены в точках \(B, C, D, E\). Известно, что \(AC=12\) км, \(BD=11\) км, \(CE=12\) км, \(DF=16\) км. Найдите расстояния \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\), \(EF\).
7. Температуру можно измерять в градусах Цельсия (\(^\circ\)C) и Фаренгейта (\(^\circ\)F). Известно, что вода замерзает при \(0^\circ\)C (32°F) и кипит при \(100^\circ\)C (212°F). Сейчас на улице \(5^\circ\)C. Какова температура по Фаренгейту?
8. Грузовик едет со скоростью 65 км/ч, за ним легковой автомобиль со скоростью 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 2 минуты после того, как легковой автомобиль догонит грузовой?

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{5x - 10}{14} - \frac{3x - 1}{8} = 1 \] Решение: Умножим обе части уравнения на 56: \[ 4(5x - 10) - 7(3x - 1) = 56 \quad \Rightarrow \quad 20x - 40 - 21x + 7 = 56 \] \[ -x - 33 = 56 \quad \Rightarrow \quad x = -89 \] Ответ: $-89$.
2. Найдите значение выражения: \[ \frac{\bigl((6)^2\bigr)^5 \,\cdot\,36}{6^{11}} \] Решение: \[ \frac{6^{10} \cdot 6^2}{6^{11}} = \frac{6^{12}}{6^{11}} = 6 \] Ответ: 6.
3. Сумма двух чисел равна 91. Найдите эти числа, если 77% одного равны 66% другого.
   Решение: Пусть числа $x$ и $y$: \[ \begin{cases} x + y = 91 \\ 0,77x = 0,66y \quad \Rightarrow \quad 7x = 6y \quad \Rightarrow \quad y = \frac{7x}{6} \end{cases} \] Подставляя $y$ в первое уравнение: \[ x + \frac{7x}{6} = 91 \quad \Rightarrow \quad x = 42, \quad y = 49 \] Ответ: 42 и 49.
4. Найдите $10a^2b + 5ab - 15ab^2$ если $ab = 2$ и $2a - 3b = -4$.
   Решение: Вынесем $5ab$: \[ 5ab(2a + 1 - 3b) = 5 \cdot 2 \cdot (2a - 3b + 1) = 10 \cdot (-4 + 1) = -30 \] Ответ: $-30$.
5. Биссектриса угла $ABC$ образует с его стороной угол, равный $\tfrac{1}{3}$ угла, смежного с углом $ABC$. Найдите градусную меру угла $ABC$.
   Решение: Пусть $\angle ABC = x$, тогда смежный угол $180^\circ - x$. Биссектриса делит $x$ пополам: \[ \frac{x}{2} = \frac{1}{3}(180^\circ - x) \quad \Rightarrow \quad 3x = 360^\circ - 2x \quad \Rightarrow \quad x = 72^\circ \] Ответ: $72^\circ$.
6. Найдите расстояния $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$ при данных длинах:
   Решение: Используя условия: \[ \begin{cases} AB + BC = 12 \\ BC + CD = 11 \\ CD + DE = 12 \\ DE + EF = 16 \\ AB + BC + CD + DE + EF = 35 \end{cases} \] Решая систему, получим: \[ AB = 8\text{ км}, \quad BC = 4\text{ км}, \quad CD = 7\text{ км}, \quad DE = 5\text{ км}, \quad EF = 11\text{ км} \] Ответ: 8, 4, 7, 5, 11 км.
7. Преобразуйте $5^\circ$C в градусы Фаренгейта:
   Решение: \[ F = \frac{9}{5} \cdot 5 + 32 = 41 \] Ответ: $41^\circ$F.
8. Найдите расстояние между автомобилями через 2 минуты после обгона:
   Решение: Разность скоростей $80 - 65 = 15$ км/ч. Время $2$ мин $= \frac{1}{30}$ ч: \[ 15 \cdot \frac{1}{30} = 0,5 \text{ км} = 500 \text{ метров} \] Ответ: 500 метров.