Лицей №146 из 7 в 8 класс 2008 год вариант 2

1. Найдите число, 45% которого равно \[ \frac{45^4}{9^3 \cdot 25^2}. \]
   
   
2. При каком значении \(y\) сумма числа 4 и выражения \[ \frac{6y - 1}{2} \] меньше их произведения на 3,5?
   
   
3. Замените \(M\) многочленом так, чтобы тождество \[ M - \bigl(3y^2 - 4xy\bigr) = x^2 - xy + y^2 \] было верным.
   
   
4. Туристическую группу из 42 человек расселили в двух- и трёхместные номера. Всего было занято 16 номеров. Сколько среди них было двухместных?
   
   
5. Найдите значение числового выражения наиболее рациональным способом без использования калькулятора: \[ \frac{4{,}7^2 - 4{,}5^2} {6{,}5^2 - 2\cdot6{,}5\cdot6{,}7 + 6{,}7^2}. \]
   
   
6. Расстояние от турбазы до озера туристы могут пройти за 4 часа, а инструктор расстояние от озера до турбазы может проехать на велосипеде за 1 час. В котором часу они встретятся, если начнут движение одновременно навстречу друг другу в 8 часов утра?
   
   
7. В натуральном трёхзначном числе цифра разряда сотен на 1 больше цифры разряда десятков, которая, в свою очередь, на 1 больше цифры разряда единиц. Докажите, что это число делится на 3.
   
   
8. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника пересекает боковую сторону под углом, равным углу при основании. Определите углы данного треугольника.

Решения задач

1. Найдите число, 45% которого равно \[ \frac{45^4}{9^3 \cdot 25^2}. \]
   Решение: Упростим дробь: \[ \frac{45^4}{9^3 \cdot 25^2} = \frac{(9 \cdot 5)^4}{9^3 \cdot (5^2)^2} = \frac{9^4 \cdot 5^4}{9^3 \cdot 5^4} = 9. \] Тогда искомое число \(x\): \[ 0.45x = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{9}{0.45} = 20. \] Ответ: 20.
   
   
2. При каком значении \(y\) сумма числа 4 и выражения \[ \frac{6y - 1}{2} \] меньше их произведения на 3,5? Решение: Составим уравнение: \[ 4 + \frac{6y - 1}{2} = 4 \cdot \frac{6y - 1}{2} - 3.5. \] Умножаем обе части на 2: \[ 8 + 6y - 1 = 4(6y - 1) - 7 \quad \Rightarrow \quad 6y + 7 = 24y - 11. \] Решаем: \[ 18y = 18 \quad \Rightarrow \quad y = 1. \] Ответ: 1.
   
   
3. Замените \(M\) многочленом так, чтобы тождество \[ M - \bigl(3y^2 - 4xy\bigr) = x^2 - xy + y^2 \] было верным.
   
   Решение: Найдем \(M\): \[ M = x^2 - xy + y^2 + (3y^2 - 4xy) = x^2 - 5xy + 4y^2. \] Ответ: \(M = x^2 - 5xy + 4y^2\).
   
   
4. Туристическую группу из 42 человек расселили в двух- и трёхместные номера. Всего было занято 16 номеров. Сколько среди них было двухместных? Решение: Пусть \(x\) — двухместные номера, \(y\) — трехместные. Имеем систему: \[ \begin{cases} x + y = 16 \\ 2x + 3y = 42 \end{cases} \] Вычитаем из второго уравнения удвоенное первое: \[ (2x + 3y) - 2(x + y) = 42 - 32 \quad \Rightarrow \quad y = 10. \] Тогда \(x = 16 - 10 = 6\). Ответ: 6.
   
   
5. Найдите значение числового выражения: \[ \frac{4{,}7^2 - 4{,}5^2}{6{,}5^2 - 2\cdot6{,}5\cdot6{,}7 + 6{,}7^2}. \]
   Решение: В числителе разность квадратов: \[ 4.7^2 - 4.5^2 = (4.7 - 4.5)(4.7 + 4.5) = 0.2 \cdot 9.2 = 1.84. \] В знаменателе квадрат разности: \[ (6.5 - 6.7)^2 = (-0.2)^2 = 0.04. \] Получаем: \[ \frac{1.84}{0.04} = 46. \] Ответ: 46.
   
   
6. Расстояние от турбазы до озера туристы проходят за 4 часа, инструктор на велосипеде проезжает за 1 час. Встретятся они: Решение: Пусть расстояние \(S\). Скорость туристов: \(\frac{S}{4}\), велосипедиста: \(S\). Время до встречи \(t\): \[ \frac{S}{4}t + S t = S \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{4}t = 1 \quad \Rightarrow \quad t = 0.8 \text{ ч} = 48 \text{ мин}. \] Начало в 8:00 ⇒ встреча в 8:48. Ответ: В 8 часов 48 минут.
   
   
7. Докажите, что число с цифрами сотен \(a+1\), десятков \(a\), единиц \(a-1\) делится на 3. Решение: Число можно записать как: \[ 100(a+1) + 10a + (a-1) = 111a + 99 = 3(37a + 33). \] Очевидно делится на 3. Ответ: Доказано.
   
   
8. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника образует с боковой стороной угол, равный углу при основании. Решение: Пусть угол при основании \(72^\circ\), тогда угол при вершине \(36^\circ\). Биссектриса делит угол основания на \(36^\circ\), образуя треугольник с углами \(36^\circ\), \(72^\circ\), \(72^\circ\), что соответствует условию. Ответ: Углы треугольника \(72^\circ\), \(72^\circ\), \(36^\circ\).