Лицей №146 из 7 в 8 класс 2008 год вариант 1

1. Найдите число, 36% которого равно \[ \frac{36^4}{9^3 \cdot 16^2}. \]
2. При каком значении \(y\) произведение числа 3 и выражения \[ \frac{4y + 3}{2} \] больше их суммы на 8?
   
   
3. Замените \(M\) многочленом так, чтобы тождество \[ M \;-\;\bigl(6x^2 - 3xy\bigr) = x^2 - xy + y^2 \] было верным.
   
   
4. В жилом доме 50 квартир. Среди них есть двухкомнатные и трёхкомнатные квартиры. Сколько в этом доме двухкомнатных квартир, если всего в доме 115 жилых комнат?
   
   
5. Найдите значение числового выражения наиболее рациональным способом, не используя калькулятор: \[ \frac{2{,}5^2 - 2{,}3^2} {5{,}7^2 -2\cdot5{,}7\cdot5{,}9 + 5{,}9^2}. \]
   
   
6. Расстояние от деревни до лагеря бабушка может пройти за 3 часа, а Таня — за 2 часа. В котором часу они встретятся, если выйдут одновременно навстречу друг другу в 9 часов утра?
   
   
7. В натуральном трёхзначном числе цифра сотен на 2 больше цифры десятков, которая, в свою очередь, на 1 меньше цифры единиц. Докажите, что это число делится на 3.
   
   
8. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна основанию этого треугольника. Определите углы данного треугольника.

Решения задач

1. Деньги и дрова.
   Решение: Общее количество дров: $3 + 5 = 8$ поленьев. Каждый участник должен внести эквивалент $\frac{8}{3}$ полена. Маша внесла $3$ полена, что на $3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$ больше. Даша внесла $5$ поленьев, что на $5 - \frac{8}{3} = \frac{7}{3}$ больше. Миша оплатил 8 рублей за $\frac{8}{3}$ полена (средний вклад). Тогда возмещение Маше: $\frac{1}{3} \cdot 3$ руб. (стоимость полена) = $1$ руб. на каждую "лишнею" треть. Маше полагается $3$ руб., Даше $5$ руб.
   Ответ: Маша получает $3$ руб., Даша — $5$ руб.
   
   
2. Антикризисные макароны.
   Решение: Пусть $Q₁$ — исходное количество, $P₁$ — цена, $Q₂ = 1,1Q₁$ — новое количество. Выручка:
   $\begin{cases} Q₁P₁ = 500 \\ 1,1Q₁P₂ = 660 \end{cases}$ $\frac{P₂}{P₁} = \frac{660}{500} \cdot \frac{1}{1,1} = 1,2$. Цена выросла на $20\%$.
   Ответ: $+20\%$.
   
   
3. Антикризисное золото.
   Решение: Пусть начальная сумма S руб. Через год в банке: $S \cdot 1,2$. При росте золота: $S \cdot 1,25 \cdot 0,9 = 1,125S$. Выигрыш: $1,2S - 1,125S = 0,075S (-7,5\%)$.
   Ответ: Проигрыш $7,5\%$ от суммы.
   
   
4. Дилемма пенсионерки.
   Решение:
   1. Прибыль от котлет: $100 \cdot 40 - (20 \cdot 150) = 1000$ руб.
      Ответ: Котлеты, прибыль $1000$ руб.
   2. Новые затраты на фарш: $150 \cdot 1,2 = 180$. Равноприбыль:
      $30x - (10\cdot100 + 8\cdot180) = 40\cdot100 - 20\cdot180 \Rightarrow x = 28,4$ руб.
      Ответ: $28,4$ руб.
   
   
   
5. Рентабельность АО «Рома & Co».
   Решение: Новые переменные затраты:
   Зарплата: $(0,5\cdot0,5C)\cdot1,1 = 0,275C$
   Сырье: $(0,4\cdot0,5C)\cdot1,125 = 0,253125C$
   Транспорт: $(0,1\cdot0,5C) \cdot 2 = 0,1C$
   Всего: $0,628125C + 0,5C = 1,128125C$
   Прибыль: $1,2C - 1,128125C = 0,071875C$ $(≈6,37\%)$
   Ответ: Рентабельность упала с $20\%$ до $≈6,37\%$.
   
   
6. Найм сотрудников.
   Решение: Суммируем кандидатов от дешевых к дорогим до бюджета $200$:
   «Бета» ($17,24,31$), «Альфа» ($30$), «Дельта» ($39$). Проверка: $17+24+31+30=102$. Бюджет превышен. Ответ остаётся за проверкой всех вариантов (неполное решение в шаблоне).
   
   
7. Такие разные зрители.
   Решение:
   1. Оптимальные цены: «Автоспорт» — $190$ руб., «Сериалы» — $180$ руб. Прибыль: $1000\cdot(190 + 180) = 370 000$ руб.
   2. Пакет: Цена $275$ руб. Прибыль $2000 \cdot 275 = 550 000$ руб.
   3. Добавляем третью группу. Пересчитать цены для максимизации.
   4. Пример: Продажа интернет-пакетов (Триколор, МТС).
   
   
   
8. Чеканка из каучука.
   Решение:
   1. Бразилия: $20$ комплектов, Аргентина:$83 \Rightarrow$ мировой $= 103$
   2. Специализация: Бразилия — мячи ($100$), Аргентина — галоши $(500\div1=500)$. Макс комплектов: $100$ мячей $100$ людей.
   3. Обмен каучуком: Эффективность увеличивается до $(100+500)\div(5)=120$.
   4. Стандартизация технологий $\Rightarrow 600$ каучука $\div 5 = 120$ комплектов.
   
   
   
9. Завод в Экономии.
   Ответ: В точке минимальной суммы расстояний до всех городов — медианной точке. Если города упорядочены, завод в центре.
   
   
10. Оптимальное производство ООО «ТОП».
    Решение: Симплекс-метод. Ограничения:
    $8x+10y+8z ≤5500$; $10x+6y+14z ≤5500$; $x≤150$, $y≤200$, $z≤250$.
    Ответ: Максимум прибыли в вершине допустимой области. Предположим $y=0$; $x=150$, $z=(5500-8 \cdot 150) \div 8=537,5$ $\Rightarrow$ не подходит. Проверка других вариантов показывает оптимальные $x=150$, $z=1754$, $y=$... (неполное решение в шаблоне).
    
    
11. Озёрный город.
    Ответ: Геометрический центр окружности (центр озера), где сумма расстояний минимальна.