Лицей №146 из 7 в 8 класс 2007 год вариант 2

1. (2 балла) Решите уравнение \[ \frac{5x - 3}{5} \;-\;\frac{5 - 2x}{4} = 1. \]
   
   
2. (1 балл) Найдите положительное число, которое при возведении в квадрат увеличивается в 6 раз.
   
   
3. (1 балл) Сколько процентов составляет число 25 от своего квадрата?
   
   
4. (1 балл) Сравните \[ \bigl((-7)^5\cdot(-7)^9\bigr) \quad\text{и}\quad \bigl((-7)^6\cdot(-7)^8\bigr). \]
   
   
5. (2 балла) В треугольнике $ABC$ высоты, проведённые из вершин $B$ и $C$, пересекаются в точке $M$. Найдите угол $\angle BMC$, если $\angle B = 50^\circ$, $\angle C = 80^\circ$.
   
   
6. (2 балла) Найдите три последовательных натуральных числа, если произведение двух меньших чисел на 12 меньше произведения двух больших чисел.
   
   
7. (3 балла) Отец с сыном должны вскопать огород. Отец копает в два раза быстрее сына. Работая вместе, они могли вскопать огород за 3 часа. Однако они проработали вместе только 1 час, потом некоторое время работал сын, а заканчивал работу один отец. Сколько часов всего проработал отец, если вся работа была выполнена за 5 часов?

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{5x - 3}{5} - \frac{5 - 2x}{4} = 1. \] Решение:
   Умножим обе части уравнения на 20 (общий знаменатель 5 и 4):
   \(4(5x - 3) - 5(5 - 2x) = 20\)
   Раскроем скобки:
   \(20x - 12 - 25 + 10x = 20\)
   Приведём подобные слагаемые:
   \(30x - 37 = 20\)
   \(30x = 57\)
   \(x = \frac{57}{30} = 1,9\)
   Ответ: \(1,9\).
   
   
2. Найдите положительное число, которое при возведении в квадрат увеличивается в 6 раз.
   Решение:
   Пусть \(x\) — искомое число. По условию: \[x^2 = 6x\] \[x^2 - 6x = 0\] \[x(x - 6) = 0\]
   Так как число положительно: \(x = 6\).
   Проверка: \(6^2 = 36\), \(36 = 6 \times 6\).
   Ответ: 6.
   
   
3. Сколько процентов составляет число 25 от своего квадрата?
   Решение:
   Квадрат числа 25 равен \(25^2 = 625\).
   Составим пропорцию: \[ \frac{25}{625} \times 100% = \frac{1}{25} \times 100% = 4\% \]
   Ответ: 4 %.
   
   
4. Сравните: \[ \bigl((-7)^5 \cdot (-7)^9\bigr) \quad \text{и} \quad \bigl((-7)^6 \cdot (-7)^8\bigr) \] Решение:
   Представим произведения в виде степеней: \[ (-7)^{5+9} = (-7)^{14} \quad \text{и} \quad (-7)^{6+8} = (-7)^{14} \]
   Так как степени одинаковые, выражения равны: \[ (-7)^{14} = 7^{14} \quad \text{(чётная степень)} \]
   Ответ: Выражения равны.
   
   
5. В треугольнике \(ABC\) высоты, проведённые из вершин \(B\) и \(C\), пересекаются в точке \(M\). Найдите угол \(\angle BMC\), если \(\angle B = 50^\circ\), \(\angle C = 80^\circ\).
   Решение:
   Сумма углов треугольника: \[ \angle A = 180^\circ - 50^\circ - 80^\circ = 50^\circ \]
   В четырёхугольнике, образованном высотами и сторонами треугольника, угол \(\angle BMC\) дополняет угол \(A\) до 180°: \[ \angle BMC = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \]
   Ответ: $130^\circ$.
   
   
6. Найдите три последовательных натуральных числа, если произведение двух меньших чисел на 12 меньше произведения двух больших чисел.
   Решение:
   Пусть числа: \(n\), \(n+1\), \(n+2\). Тогда: \[ (n+1)(n+2) - n(n+1) = 12 \]
   Раскроем скобки: \[ n^2 + 3n + 2 - n^2 - n = 12 \]
   Упростим: \[ 2n + 2 = 12 \quad \Rightarrow \quad n = 5 \]
   Числа: 5, 6, 7.
   Проверка: \(6 \times 7 - 5 \times 6 = 42 - 30 = 12\).
   Ответ: 5, 6, 7.
   
   
7. Отец с сыном должны вскопать огород. Отец копает в два раза быстрее сына. Работая вместе, они могли вскопать огород за 3 часа. Однако они проработали вместе 1 час, потом сын работал отдельно, а заканчивал работу один отец. Сколько часов всего проработал отец, если вся работа была выполнена за 5 часов?
   Решение:
   Пусть скорость сына — \(x\) (огород/час), тогда скорость отца — \(2x\). Объём работы: \[ (x + 2x) \times 3 = 9x \]
   После совместной работы 1 час сделано: \[ (x + 2x) \times 1 = 3x \quad \Rightarrow \quad осталось \ 6x \]
   Пусть сын работал \(t\) часов один: \[ x \times t \quad \Rightarrow \quad осталось \ 6x - tx \]
   Отец завершил работу за: \[ \frac{6x - tx}{2x} = \frac{6 - t}{2} \ \text{часов} \]
   Общее время: \[ 1 + t + \frac{6 - t}{2} = 5 \quad \Rightarrow \quad t = 2 \]
   Время работы отца:
   \(1\) час совместно \(+ \frac{6 - 2}{2} = 2\) часа отдельно. Итого: \(3\) часа.
   Ответ: 3 часа.