Лицей №146 из 7 в 8 класс 2007 год вариант 1

1. (2 балла) Решите уравнение \[ \frac{3x - 4}{3}\;-\;\frac{5 - x}{4}\;=\;2. \]
   
   
2. (1 балл) Найдите положительное число, которое при возведении в квадрат увеличивается в 5 раз.
   
   
3. (1 балл) Сколько процентов составляет число 20 от своего квадрата?
   
   
4. (1 балл) Сравните \[ \bigl((-5)^3\cdot(-5)^{11}\bigr) \quad\text{и}\quad \bigl((-5)^4\cdot(-5)^{10}\bigr). \]
   
   
5. (2 балла) В треугольнике $ABC$ высоты, проведённые из вершин $A$ и $C$, пересекаются в точке $M$. Найдите угол $\angle AMC$, если $\angle A = 70^\circ$, $\angle C = 80^\circ$.
   
   
6. (2 балла) Найдите три последовательных натуральных числа, если произведение двух меньших чисел на 14 меньше произведения двух больших чисел.
   
   
7. (3 балла) Отец с сыном должны вскопать огород. Отец копает в два раза быстрее сына. Работая вместе, они могли бы вскопать огород за 4 часа. Однако они проработали вместе только 1 час, затем некоторое время работал только сын, а завершал работу только отец. Сколько часов всего проработал отец, если вся работа была выполнена за 7 часов?

Решения задач

1. Решите уравнение \[ \frac{3x - 4}{3}\;-\;\frac{5 - x}{4}\;=\;2. \] Решение:
   Умножим обе части уравнения на 12:
   $\frac{12(3x - 4)}{3} - \frac{12(5 - x)}{4} = 24$
   $4(3x - 4) - 3(5 - x) = 24$
   $12x - 16 -15 + 3x = 24$
   $15x - 31 = 24$
   $15x = 55$
   $x = \frac{55}{15} = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$
   Ответ: $3\frac{2}{3}$.
   
   
2. Найдите положительное число, которое при возведении в квадрат увеличивается в 5 раз.
   Решение:
   Пусть число $x$. По условию $x^2 = 5x$:
   $x^2 - 5x = 0$
   $x(x - 5) = 0$
   Положительный корень: $x = 5$
   Ответ: 5.
   
   
3. Сколько процентов составляет число 20 от своего квадрата?
   Решение:
   Квадрат числа 20: $20^2 = 400$
   $\frac{20}{400} \times 100% = 5 %$
   Ответ: 5 %.
   
   
4. Сравните \[ \bigl((-5)^3\cdot(-5)^{11}\bigr) \quad\text{и}\quad \bigl((-5)^4\cdot(-5)^{10}\bigr). \] Решение:
   Преобразуем степени:
   $(-5)^3 \cdot (-5)^{11} = (-5)^{3 + 11} = (-5)^{14}$
   $(-5)^4 \cdot (-5)^{10} = (-5)^{4 + 10} = (-5)^{14}$
   Ответ: равны.
   
   
5. В треугольнике $ABC$ высоты, проведённые из вершин $A$ и $C$, пересекаются в точке $M$. Найдите угол $\angle AMC$, если $\angle A = 70^\circ$, $\angle C = 80^\circ$.
   Решение:
   Сумма углов треугольника: $\angle B = 180^\circ - 70^\circ - 80^\circ = 30^\circ$
   Угол между высотами равен $180^\circ - \angle B = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$
   Ответ: $150^\circ$.
   
   
6. Найдите три последовательных натуральных числа, если произведение двух меньших чисел на 14 меньше произведения двух больших чисел.
   Решение:
   Пусть числа: $n$, $n + 1$, $n + 2$
   $n(n + 1) + 14 = (n + 1)(n + 2)$
   $n^2 + n + 14 = n^2 + 3n + 2$
   $14 = 2n + 2 \implies 2n = 12 \implies n = 6$
   Числа: 6, 7, 8
   Ответ: 6, 7, 8.
   
   
7. Отец с сыном должны вскопать огород. Отец копает в два раза быстрее сына. Работая вместе, они могли бы вскопать огород за 4 часа. Однако они проработали вместе только 1 час, затем некоторое время работал только сын, а завершал работу только отец. Сколько часов всего проработал отец, если вся работа была выполнена за 7 часов?
   Решение:
   Пусть производительность сына — $x$ огородов/час, тогда отца — $2x$
   Объём работы: $(x + 2x) \cdot 4 = 12x$
   Выполнено за 1 час вместе: $3x$
   Пусть сын работал $t$ часов один. Тогда отец работал $(6 - t)$ часов
   Уравнение: $3x + x \cdot t + 2x \cdot (6 - t) = 12x \implies 3 + t + 12 - 2t = 12 \implies t = 3$
   Отец работал суммарно: $1 + (6 - 3) = 4$ часа
   Ответ: 4.