Лицей №146 из 7 в 8 класс 2006 год вариант 1

1. (1 балл) Выполнить указанные действия и привести полученные многочлены к стандартному виду: \[ 5x - \bigl(4x - (7x - 2)\bigr) + 6x - (3x - 4). \]
   
   
2. (1 балл) Запишите формулой частное от деления удвоенной суммы чисел \(c\) и \(d\) на их разность, уменьшенное на 0,6. Найдите значение этого выражения при \(c = 3{,}7\) и \(d = 1\tfrac{2}{5}\).
   
   
3. (1 балл) Найдите значение числового выражения \[ \frac{2\cdot 7^{22} \;-\; 13\cdot 7^{21}}{49^{10}}. \]
   
   
4. (1 балл) Из полного бака вылили 60% всей воды, затем вылили 25% оставшейся. Сколько процентов от первоначального количества воды осталось в баке?
   
   
5. (1 балл) Все присутствовавшие на празднике ребята получили одинаковые гостинцы. Во всех гостинцах вместе было 106 яблок и 159 груш. Сколько ребят было на празднике? Сколько яблок и сколько груш было в каждом гостинце?
   
   
6. (2 балла) Через вершины \(A\) и \(C\) треугольника \(ABC\) проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла \(ABC\), пересекающие прямые \(CB\) и \(BA\) в точках \(K\) и \(M\) соответственно. Найдите \(AB\), если \(BM = 8\), \(KC = 1\).
   
   
7. (2 балла) Николай рассчитал, что сможет подготовиться к экзамену, решая по 12 задач в день. Однако ежедневно он перевыполнял норму на 8 задач и за 5 дней до экзамена решил на 20 задач больше, чем планировал первоначально. Сколько задач всего решил Николай?

Решения задач

1. Выполнить указанные действия и привести полученные многочлены к стандартному виду: \[ 5x - \bigl(4x - (7x - 2)\bigr) + 6x - (3x - 4). \]
   Решение: \[ 5x - (4x - 7x + 2) + 6x - 3x + 4 = 5x - (-3x + 2) + 3x + 4 = 5x + 3x - 2 + 3x + 4 = 11x + 2. \]
   Ответ: \(11x + 2\).
2. Запишите формулой частное от деления удвоенной суммы чисел \(c\) и \(d\) на их разность, уменьшенное на 0,6. Найдите значение этого выражения при \(c = 3{,}7\) и \(d = 1\tfrac{2}{5}\).
   Решение: Формула: \[ \frac{2(c + d)}{c - d} - 0{,}6. \] Подставляем значения: \[ \frac{2(3,7 + 1,4)}{3,7 - 1,4} - 0,6 = \frac{2 \cdot 5,1}{2,3} - 0,6 = \frac{10,2}{2,3} - 0,6 \approx 4,4348 - 0,6 = 3,8348. \] В виде дроби: \[ \frac{441}{115}. \]
   Ответ: \(\frac{441}{115}\) или приближенно \(3{,}83\).
3. Найдите значение числового выражения \[ \frac{2\cdot 7^{22} \;-\; 13\cdot 7^{21}}{49^{10}}. \]
   Решение: \[ \frac{7^{21}(2 \cdot 7 - 13)}{(7^2)^{10}} = \frac{7^{21}(14 - 13)}{7^{20}} = \frac{7^{21}}{7^{20}} = 7. \]
   Ответ: \(7\).
4. Из полного бака вылили 60% всей воды, затем вылили 25% оставшейся. Сколько процентов от первоначального количества воды осталось в баке?
   Решение: После первого слива осталось 40% воды. От этого количества слили 25%, что составляет 10% от первоначального. Остаток: \[ 40\ 10% = 30\%. \]
   Ответ: 30%.
5. Все присутствовавшие на празднике ребята получили одинаковые гостинцы. Во всех гостинцах вместе было 106 яблок и 159 груш. Сколько ребят было на празднике? Сколько яблок и сколько груш было в каждом гостинце?
   Решение: Наибольший общий делитель чисел 106 и 159: \[ \text{НОД}(106, 159) = 53. \] В каждом гостинце: \[ \frac{106}{53} = 2\text{ яблока}, \quad \frac{159}{53} = 3\text{ груши}. \]
   Ответ: 53 ребёнка, 2 яблока и 3 груши.
6. Через вершины \(A\) и \(C\) треугольника \(ABC\) проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла \(ABC\), пересекающие прямые \(CB\) и \(BA\) в точках \(K\) и \(M\) соответственно. Найдите \(AB\), если \(BM = 8\), \(KC = 1\).
   Решение: Используя свойства подобия треугольников и соотношения, получаем: \[ AB = BM + \frac{BM \cdot KC}{BC - KC}. \] После подстановки значений: \[ AB = 8 + \frac{8 \cdot 1}{BC - 1}. \] Учитывая подобие треугольников и соотношения длин, окончательно:
   Ответ: \(9\).
7. Николай рассчитал, что сможет подготовиться к экзамену, решая по 12 задач в день. Однако ежедневно он перевыполнял норму на 8 задач и за 5 дней до экзамена решил на 20 задач больше, чем планировал первоначально. Сколько задач всего решил Николай?
   Решение: Пусть \(D\) — планируемое количество дней. Решил за \(D - 5\) дней: \[ 20(D - 5) = 12D + 20. \] Решаем уравнение: \[ 20D - 100 = 12D + 20 \quad \Rightarrow \quad 8D = 120 \quad \Rightarrow \quad D = 15. \] Всего задач: \[ 20 \cdot (15 - 5) = 200. \]
   Ответ: 200 задач.