Лицей №146 из 6 в 7 класс устное собеседование

Пример карточки устного собеседования для учащихся 6-х классов

1. Замените звездочки цифрами так, чтобы число 11** делилось на 15. Рассмотрите все возможные варианты.
2. В саду расцвели 100 колокольчиков, некоторые из них синие, некоторые голубые. Известно, что хотя бы один из них синий, а из любых двух хотя бы один голубой. Сколько синих колокольчиков расцвело в саду?
3. Можно ли прямоугольник $4\times 8$ разрезать на 9 квадратов (необязательно равных)?

Решения задач

1. Замените звездочки цифрами так, чтобы число $\text{11**}$ делилось на 15. Рассмотрите все возможные варианты.
   Решение: Чтобы число делилось на 15, оно должно делиться на 3 и на 5. Последняя цифра числа (для делимости на 5) должна быть 0 или 5. Случай 1: Последняя цифра 0. Число имеет вид $11*0$. Сумма цифр: $1 + 1 + * + 0 = 2 + *$ должна делиться на 3. Варианты для *: 1, 4, 7. Получаем числа: 1110, 1140, 1170. Случай 2: Последняя цифра 5. Число имеет вид $11*5$. Сумма цифр: $1 + 1 + * + 5 = 7 + *$ должна делиться на 3. Варианты для *: 2, 5, 8. Получаем числа: 1125, 1155, 1185.
   Ответ: 1110, 1140, 1170, 1125, 1155, 1185.
2. В саду расцвели 100 колокольчиков, некоторые из них синие, некоторые голубые. Известно, что хотя бы один из них синий, а из любых двух хотя бы один голубой. Сколько синих колокольчиков расцвело в саду?
   Решение: Предположим, что синих колокольчиков больше одного. Тогда среди них можно выбрать пару синих, что нарушает условие «из любых двух хотя бы один голубой». Значит, синий колокольчик может быть только один. В этом случае любой второй колокольчик в паре с ним будет голубым, что удовлетворяет условию.
   Ответ: 1.
3. Можно ли прямоугольник $4 \times 8$ разрезать на 9 квадратов (необязательно равных)?
   Решение: Площадь прямоугольника равна $32$. Если разрезать его на 9 квадратов, сумма их площадей должна быть равна 32. Минимальный размер квадрата — $1 \times 1$. Предположим, что это возможно. Тогда сумма сторон всех квадратов должна "вписаться" в размеры 4 и 8. Однако прямоугольник $4 \times 8$ можно разбить только на чётное количество квадратов (например, 2 квадрата $4 \times 4$). Попытка использовать 9 квадратов приводит к нарушению размеров или наложению. Ответ: Нельзя.