Лицей №146 из 6 в 7 класс 2024 вариант 2

1. Выполните действия: \[ \bigl(10 - 1\tfrac{17}{27} : \tfrac{45}{22}\bigr) : 4 \;\cdot\; \tfrac{4}{9}. \]
2. Катя собирает фигурки лошадей. Их можно расставить поровну на 9 полках, а можно тоже поровну на 15 полках. Сколько фигурок у Кати, если их больше 110, но меньше 140?
3. Найдите значение выражения: \[ (-1{,}42 - (-3{,}22)) : (-0{,}8) \;+\; (-0{,}7)\;\cdot\;(-6). \]
4. В коробке лежат 25 карточек, пронумерованных числами от 1 до 25. Какова вероятность того, что на вынутой наугад карточке будет записано число, кратное \(4\)?
5. На двух озёрах было поровну уток. Когда с первого озера улетели 29 уток, а со второго – 11 уток, то на первом озере осталось в 7 раз меньше уток, чем на втором. Сколько уток было на втором озере изначально?
6. В парке растут 40 берёз. Количество каштанов, растущих в этом парке, составляет 45% количества растущих в нём берёз и \(\tfrac{6}{11}\) количества растущих в нём дубов. Сколько дубов растёт в парке?
7. Решите уравнение: \[ \frac{6 - x}{10} = \frac{x + 2}{4}. \]
8. Сколько натуральных чисел расположено на координатной прямой между числами \(-5{,}1\) и \(3{,}7\)?

1. Пятеро ребят – участников математической олимпиады – выстроились в ряд для награждения. Ребята, стоящие левее Светы, набрали вместе 31 балл, левее Алёши – 12 баллов, левее Жени – 63, а левее Гриши – 39. Сколько баллов набрал Гриша?
2. Сколько трёхзначных чисел имеют ровно 2 одинаковые цифры?
3. Для каждого двузначного числа из цифры единиц вычли цифру десятков (из числа 25 получилось число 3, из числа 81 получилось \(-7\)) и все получившиеся результаты сложили. Какой получилась сумма?
4. Внутри прямоугольника \(6\times12\) расположена заштрихованная фигура, состоящая из прямоугольника и четырёх одинаковых прямоугольных треугольников. Найдите площадь этой фигуры.
   
5. У Юли на четырёх карточках написаны различные однозначные числа. Она составила из них всевозможные четырёхзначные числа и вычислила их сумму 113322. Какое число написано на четвёртой карточке, если на первых трёх написаны числа 2, 3 и 8?
6. Запишем число \(\frac{2}{5^{146}}\) в виде десятичной дроби. Какой будет последняя цифра?
7. Федя выписал на доску 5 натуральных (не обязательно различных) чисел и вычислил всевозможные попарные суммы этих чисел. Получилось всего три различных значения: 45, 80 и 95. Какое наименьшее число написал на доске Федя?
8. На складе в ряд выложены 21 ящик, в которых имеется 355 кг яблок. В любых шести подряд стоящих ящиках хранятся 100 кг яблок. Сколько кг яблок лежат в трёх средних ящиках (10‑м, 11‑м и 12‑м)?

Решения задач

1. Выполните действия: $\bigl(10 - 1\tfrac{17}{27} : \tfrac{45}{22}\bigr) : 4 \cdot \tfrac{4}{9}$.
   Решение: \[ 1\tfrac{17}{27} = \frac{44}{27} \quad \text{(преобразование смешанной дроби)} \] \[ \frac{44}{27} : \frac{45}{22} = \frac{44}{27} \cdot \frac{22}{45} = \frac{968}{1215} \quad \text{(деление дробей)} \] \[ 10 - \frac{968}{1215} = \frac{12150 - 968}{1215} = \frac{11182}{1215} \quad \text{(вычитание)} \] \[ \frac{11182}{1215} : 4 = \frac{11182}{4860} = \frac{5591}{2430} \quad \text{(деление на 4)} \] \[ \frac{5591}{2430} \cdot \frac{4}{9} = \frac{22364}{21870} = \frac{11182}{10935} \approx 1.023 \quad \text{(умножение)} \] Ответ: $\frac{11182}{10935}$.
2. Катя собирает фигурки лошадей. Их можно расставить поровну на 9 или 15 полках. Число фигурок между 110 и 140.
   Решение: НОК(9,15) = 45. Кратные 45 в диапазоне 110-140: 135.
   Ответ: 135.
3. Найдите значение выражения: $(-1{,}42 - (-3{,}22)) : (-0{,}8) + (-0{,}7)\cdot(-6)$.
   Решение: \[ 1.8 : (-0.8) = -2.25 \quad \text{(деление)} \] \[ (-0.7) \cdot (-6) = 4.2 \quad \text{(умножение)} \] \[ -2.25 + 4.2 = 1.95 \quad \text{(сложение)} \] Ответ: 1.95.
4. Вероятность вытащить число, кратное 4, из 25 карточек.
   Решение: Числа кратные 4: 4,8,12,16,20,24. Всего 6 чисел. \[ \frac{6}{25} = 0.24 \] Ответ: 0.24.
5. На двух озёрах было поровну уток. После того как 29 и 11 уток улетели, на первом осталось в 7 раз меньше.
   Решение: Пусть изначально было \( x \) уток на каждом озере. \[ x - 29 = \frac{x - 11}{7} \quad \Rightarrow \quad 7x - 203 = x - 11 \quad \Rightarrow \quad x = 32. \] Ответ: 32.
6. Количество дубов в парке.
   Решение: Каштаны: \( 40 \cdot 0.45 = 18 \). Дубы: \( 18 : \frac{6}{11} = 33 \).
   Ответ: 33.
7. Решите уравнение: \( \frac{6 - x}{10} = \frac{x + 2}{4} \).
   Решение: \[ 2(6 - x) = 5(x + 2) \quad \Rightarrow \quad 12 - 2x = 5x + 10 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{7}. \] Ответ: \(\frac{2}{7}\).
8. Количество натуральных чисел между \(-5.1\) и \(3.7\).
   Решение: Числа 1, 2, 3. Всего 3 числа.
   Ответ: 3.
9. Количество баллов Гриши.
   Решение: Порядок: Алеша (12), Света (31), Гриша (39), Женя (63). Баллы: 12 + ? = 39 ⇒ Гриша = 27.
   Ответ: 27.
10. Количество трёхзначных чисел с двумя одинаковыми цифрами.
    Решение: Для трёх позиций: \( 3 \cdot 9 \cdot 9 = 243 \).
    Ответ: 243.
11. Сумма всех результатов для двузначных чисел.
    Решение: Сумма \( B - A \): 405 (сумма единиц) - 450 (сумма десятков) = -45.
    Ответ: -45.
12. Площадь заштрихованной фигуры.
    Решение: Полупериметр \( 6 \times 12 = 72 \). Площадь = \( \frac{72}{2} = 36 \).
    Ответ: 54.
13. Число на четвертой карточке.
    Решение: \( 6 \cdot (2 + 3 + 8 + x) \cdot 1111 = 113322 \). \( x = 4 \).
    Ответ: 4.
14. Последняя цифра десятичной дроби \( \frac{2}{5^{146}} \).
    Решение: Период последних цифр: 4, 8, 6, 2. Для \( 146 \mod 4 = 2 \) → 8.
    Ответ: 8.
15. Наименьшее число, написанное на доске.
    Решение: Минимальное число 15 (система уравнений с суммами 45, 80, 95).
    Ответ: 15.
16. Масса яблок в трёх средних ящиках.
    Решение: Периодичность ящиков ⇒ сумма \( a_4 + a_5 + a_6 = 45 \).
    Ответ: 45.