Лицей №146 из 6 в 7 класс 2023 вариант 1

1. Вычислите: \[ \bigl(1{,}53 \,\div\, 0{,}17 - 1\bigr)\;\cdot\;2\tfrac14 \;+\; 3{,}7. \]
2. Найдите наименьшее трёхзначное число, которое делится на 3 и на 5.
3. Из двух одинаковых квадратов сложили прямоугольник. Найдите периметр прямоугольника, если площадь квадрата равна \(36\text{ см}^2\).
4. Ручка стоит 60 рублей. Сколько ручек можно будет купить на 300 рублей после повышения цены на $20\%$?
5. Решите уравнение: \[ 4\Bigl(x+2\tfrac14\Bigr) + 3\Bigl(x-1\tfrac23\Bigr) = 7{,}5. \]
6. В двух вазах было 300 конфет. После того как из каждой вазы съели поровну, в первой вазе осталось 73 конфеты, во второй – 81. Сколько конфет было в первой вазе?
7. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке:
   
   

1. В семье гномов 7 братьев, рождались они ровно через два года друг за другом. Сейчас им вместе 742 года. Сколько лет младшему брату?
2. Сколько существует таких натуральных чисел \(N\), для которых ровно одно из чисел \(N\) и \(N+146\) является трёхзначным?
3. Найдите сумму цифр числа \(10^{146} - 10^7\).
4. У какого числа от 2381895 до 2761984 самая большая сумма цифр?
5. В углах квадрата \(10\times10\) вырезали маленькие квадратики \(2\times2\). Найдите площадь закрашенной области (см. рисунок).
   
   
6. Сколько существует трёхзначных чисел, произведение цифр которых равно 42?
7. В течение учебного года в школе трижды проводились турниры по настольному теннису. В каждом турнире участвовало по 60 учащихся. При этом 70 учащихся только один раз участвовали, а 40 учащихся – ровно по 2 раза. Сколько учащихся принимали участие во всех трёх турнирах?
8. Одним ударом Гарри Поттер может разбить философский камень на 6 философских камней поменьше. За сколько ударов он сможет сделать из одного отличнейшего философского камня 146 философских камешков?
9. Однаковую степень двойки наибольшим образом делит число \(12^{24} + 2^{24}\)? Укажите показатель этой степени.
10. В июне прошлого года количество солнечных дней в Перми составляло 25% от количества пасмурных, а количество тёплых дней – 20% от количества прохладных. Только 3 дня были тёплыми и солнечными. Сколько дней были пасмурными и прохладными?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \bigl(1{,}53 \,\div\, 0{,}17 - 1\bigr)\;\cdot\;2\tfrac14 \;+\; 3{,}7. \] Решение: \[ 1{,}53 \div 0{,}17 = 9;\quad 9 - 1 = 8;\quad 2\tfrac{1}{4} = \frac{9}{4};\quad 8 \cdot \frac{9}{4} = 18;\quad 18 + 3{,}7 = 21{,}7. \] Ответ: 21,7.
2. Найдите наименьшее трёхзначное число, которое делится на 3 и на 5.
   Решение: Наименьшее трёхзначное число, оканчивающееся на 0 или 5. Проверяем делимость на 3: $100$ (1+0=1 — не делится), $105$ (1+0+5=6 — делится).
   Ответ: 105.
3. Из двух одинаковых квадратов сложили прямоугольник. Найдите периметр прямоугольника, если площадь квадрата равна \(36\text{ см}^2\).
   Решение: Сторона квадрата \(6\) см. Прямоугольник \(6 \times 12\) см. \[ P = 2 \cdot (6 + 12) = 36 \text{ см}. \] Ответ: 36 см.
4. Ручка стоит 60 рублей. Сколько ручек можно купить на 300 рублей после повышения цены на $20\%$?
   Решение: Новая цена: \[ 60 \cdot 1{,}2 = 72 \text{ руб.};\quad 300 \div 72 \approx 4{,}16. \] Ответ: 4 ручки.
5. Решите уравнение: \[ 4\Bigl(x+2\tfrac14\Bigr) + 3\Bigl(x-1\tfrac23\Bigr) = 7{,}5. \] Решение: \[ x + \frac{9}{4} \cdot 4 = 9;\quad x - \frac{5}{3} \cdot 3 = -5;\quad 7x + 4 = 7{,}5 \quad \Rightarrow \quad x = 0{,}5. \] Ответ: 0,5.
6. В двух вазах было 300 конфет. После того как из каждой вазы съели поровну, в первой вазе осталось 73, во второй — 81. Сколько конфет было в первой вазе?
   Решение: Всего съели: \[ 300 - (73 + 81) = 146 \quad \Rightarrow \quad \text{съели по }73.\quad \text{В первой было: }73 + 73 = 146. \] Ответ: 146.
7. Найдите площадь фигуры.
   Решение: Площадь большого прямоугольника \(8 \times 6 = 48\) см². Вычтем два вырезанных прямоугольника: \[ 2 \times 3 = 6 \text{ и } 3 \times 4 = 12. \quad 48 - 6 - 12 = 30 \text{ см²}. \] Ответ: 30 см².
8. В семье гномов 7 братьев, рождались через 2 года. Сумма возрастов 742. Сколько лет младшему?
   Решение: Арифметическая прогрессия: \[ \frac{7}{2} \cdot (2a_1 + 12) = 742 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 100. \] Ответ: 100 лет.
9. Сколько натуральных чисел \(N\), для которых ровно одно из чисел \(N\) и \(N+146\) трёхзначное?
   Решение: \[ N \geq 854 \ (146) \text{ и } N \leq 99 \ (99). \quad 146 + 99 = 245. \] Ответ: 245.
10. Найдите сумму цифр числа \(10^{146} - 10^7\).
    Решение: Число имеет вид \(999\ldots9990000000\) (139 девяток, 7 нулей): \[ 139 \cdot 9 = 1251. \] Ответ: 1251.
11. У какого числа от 2381895 до 2761984 самая большая сумма цифр?
    Решение: Число 2699999. Сумма: \[ 2 + 6 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 53. \] Ответ: 2699999.
12. Площадь квадрата 10×10 с вырезами 2×2 в углах: \[ 10 \times 10 - 4 \times (2 \times 2) = 100 - 16 = 84. \] Ответ: 84 см².
13. Сколько трёхзначных чисел с произведением цифр 42?
    Решение: Комбинации {1,6,7} и {2,3,7} по 6 чисел каждая: \[ 6 + 6 = 12. \] Ответ: 12.
14. Участвовали по 60 учащихся в 3 турнирах. 70 участвовали 1 раз, 40 — 2 раза. Сколько во всех трёх?
    Решение: \[ 70 \cdot 1 + 40 \cdot 2 + x \cdot 3 = 180 \quad \Rightarrow \quad x = 10. \] Ответ: 10.
15. За сколько ударов из 1 камня получить 146?
    Решение: Каждый удар добавляет 5 камней: \[ 1 + 5x = 146 \quad \Rightarrow \quad x = 29. \] Ответ: 29.
16. Наибольшая степень двойки, делящая \(12^{24} + 2^{24}\):
    Решение: Выносим \(2^{24}\): \[ 2^{24}(3^{24} + 1). \quad 3^{24} + 1 \equiv 2 \mod 4 \quad \Rightarrow \quad 2^{25}. \] Ответ: 25.
17. Пасмурные и прохладные дни:
    Решение: Пасмурные дни \(24\), прохладные дни \(25\). Пересечение: \[ S_{\text{пасм}} \cap C_{\text{прохл}} = 22. \] Ответ: 22.